Sejam A e B duas matrizes n \times n tais que \operatorname{det}(A)=-1 e \operatorname{det}(B)=2. Calcule \operatorname{det}\left(A^{2} B^{-1}\right).

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas A e B de ordem n com
\det(A) = -1 \quad\text{e}\quad \det(B) = 2
e pede \det\bigl(A^{2}B^{-1}\bigr). Vamos usar as propriedades do determinante:
  1. \det(XY)=\det(X)\,\det(Y).
  2. \det(X^{-1})=1/\det(X).
  3. \det(X^k)=(\det X)^k.

Passo 2

Aplicando a propriedade de multiplicação em \det\bigl(A^{2}B^{-1}\bigr), temos
\det\bigl(A^{2}B^{-1}\bigr) =\det\bigl(A^{2}\bigr)\,\det\bigl(B^{-1}\bigr).

Passo 3

Calculemos cada fator:
\det\bigl(A^{2}\bigr) =\bigl(\det(A)\bigr)^{2} =(-1)^{2} =1,
\det\bigl(B^{-1}\bigr) =\frac{1}{\det(B)} =\frac{1}{2}.

Passo 4

Multiplicando os resultados, obtemos
\det\bigl(A^{2}B^{-1}\bigr) =1 \times \frac{1}{2} =\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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