a Seja A in Mn(C) uma matriz complexa invertível, definimos suas partes real e imaginária R, J in Mn(R) como sendo
R=Re(A) e J=Im(A)
de forma que A=R+i J. Mostre que existe lambda0 in R tal que R+lambda0 J é invertível.
b Deduza que se duas matrizes reais A, B in Mn(R) são semelhantes em Mn(C) então elas são semelhantes em Mn(R).

Passo 1

O enunciado (parte a) nos pede para mostrar que, dada uma matriz complexa invertível Ain Mn(C) com partes real e imaginária R=Re(A) e J=Im(A), existe lambda0inR tal que R+lambda0 J é invertível. Na parte b, devemos usar esse resultado para deduzir que se duas matrizes reais A,Bin Mn(R) são semelhantes em Mn(C), então já são semelhantes em Mn(R). Vamos usar teoria de determinante como polinômio em um parâmetro real e a decomposição em partes real e imaginária de uma igualdade matricial.

Passo 2

Definimos o polinômio em lambda dado por
p(lambda)=detl(R+lambda Jr)
Como A=R+iJ é invertível, temos p(i)=det(A)neq0. Logo, p(lambda) não é identicamente zero e tem no máximo n raízes em C. Em particular, só há um número finito de valores reais lambda que anulam p.

Passo 3

Portanto, basta escolher um lambda0inR que não seja raiz de p. Para esse lambda0 temos
detl(R+lambda0Jr)=p(lambda0)neq0,
ou seja, R+lambda0J é invertível em Mn(R).

Passo 4

Para a parte b, suponha que A,Bin Mn(R) e exista Sin Mn(C), invertível, tal que
A=S,B,S^-1
Escrevendo S=R+iJ com R,J reais e igualando partes real e imaginária em S B=A S, obtemos
R B = A R,
J B = A J
Logo, para todo lambdainR vale
(R+lambda J)B = A(R+lambda J)

Passo 5

Como da parte a existe lambda0inR tal que M=R+lambda0J é invertível em Mn(R), concluímos
M B = A M
e portanto
A = M,B,M^-1,
mostrando que A e B são semelhantes por uma mudança de base real.

Resposta

(a) Há um valor real lambda0 tal que R+lambda0J é invertível, pois p(lambda)=det(R+lambda J) não se anula em todos os reais. (b) Então, escrevendo a semelhança complexa A=SBS^-1 com S=R+iJ, a combinação real M=R+lambda0J é invertível e satisfaz M B= A M, logo A=MBM^-1, isto é, a semelhança ocorre em Mn(R).

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