a Seja
uma matriz complexa invertível, definimos suas partes real e imaginária
como sendo
de forma que
. Mostre que existe
tal que
é invertível.
b Deduza que se duas matrizes reais
são semelhantes em
então elas são semelhantes em
.
b Deduza que se duas matrizes reais
Passo 1
O enunciado (parte a) nos pede para mostrar que, dada uma matriz complexa invertível
com partes real e imaginária
e
, existe
tal que
é invertível. Na parte b, devemos usar esse resultado para deduzir que se duas matrizes reais
são semelhantes em
, então já são semelhantes em
. Vamos usar teoria de determinante como polinômio em um parâmetro real e a decomposição em partes real e imaginária de uma igualdade matricial.
Passo 2
Definimos o polinômio em
dado por
Como
é invertível, temos
. Logo,
não é identicamente zero e tem no máximo
raízes em
. Em particular, só há um número finito de valores reais
que anulam
.
Passo 3
Portanto, basta escolher um
que não seja raiz de
. Para esse
temos
ou seja,
é invertível em
.
Passo 4
Para a parte b, suponha que
e exista
, invertível, tal que
Escrevendo
com
reais e igualando partes real e imaginária em
, obtemos
Logo, para todo
vale
Passo 5
Como da parte a existe
tal que
é invertível em
, concluímos
e portanto
mostrando que
e
são semelhantes por uma mudança de base real.
Resposta
(a) Há um valor real
tal que
é invertível, pois
não se anula em todos os reais. (b) Então, escrevendo a semelhança complexa
com
, a combinação real
é invertível e satisfaz
, logo
, isto é, a semelhança ocorre em
.