Seja A in Mn(R) uma matriz real satisfazendo a seguinte condição A^3=In. Mostre que tr(A) in Z.

Passo 1

Temos uma matriz real A∈Mₙ(ℝ) tal que A³=Iₙ. O objetivo é mostrar que tr(A) é um número inteiro, usando teoria de polinômio mínimo, autovalores e a relação entre soma de autovalores e traço.

Passo 2

O polinômio característico de A satisfaz x³−1=0, e esse polinômio se fatoriza em ℝ e ℂ sem raízes repetidas:
x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)
Como não há raízes repetidas, A é diagonalizável sobre ℂ e seus autovalores são exatamente as raízes de x³=1, ou seja, 1, omega=e^2pi i/3 e omega^2=e^4pi i/3.

Passo 3

Como A tem entradas reais, autovalores complexos aparecem em pares conjugados. Seja k a multiplicidade do autovalor 1 e m a multiplicidade de omega (logo também m para omega^2). Então
n = k + 2m

Passo 4

O traço de A é a soma de todos os autovalores com suas multiplicidades:
tr(A) = k + m,(omega + omega^2)
Mas omega + omega^2 = -1, portanto
tr(A) = k - m,
que é um número inteiro.

Passo 5

Então concluímos que tr(A) é da forma k - minZ, isto é, é um número inteiro.

Resposta

tr(A)inZ

Exercícios relacionados