Seja
uma matriz real satisfazendo a seguinte condição
. Mostre que
.
Passo 1
Temos uma matriz real A∈Mₙ(ℝ) tal que A³=Iₙ. O objetivo é mostrar que tr(A) é um número inteiro, usando teoria de polinômio mínimo, autovalores e a relação entre soma de autovalores e traço.
Passo 2
O polinômio característico de A satisfaz x³−1=0, e esse polinômio se fatoriza em ℝ e ℂ sem raízes repetidas:
Como não há raízes repetidas, A é diagonalizável sobre ℂ e seus autovalores são exatamente as raízes de x³=1, ou seja, 1,
Passo 3
Como A tem entradas reais, autovalores complexos aparecem em pares conjugados. Seja k a multiplicidade do autovalor 1 e m a multiplicidade de
(logo também m para
). Então
Passo 4
O traço de A é a soma de todos os autovalores com suas multiplicidades:
Mas
que é um número inteiro.
Passo 5
Então concluímos que
é da forma
, isto é, é um número inteiro.