Sejam S e T operadores lineares de R^2 definidos por S(x, y)=(x-2 y, y) e T(x, y)=(2 x, x+2 y). Determinar:
2 S+3 T

Passo 1

Neste exercício, temos dois operadores lineares em R^2:
S(x,y)=(x-2y,,y) e T(x,y)=(2x,,x+2y). O objetivo é encontrar o operador 2S+3T. Para isso, vamos usar o fato de que combinações lineares de operadores se aplicam coordenada a coordenada.

Passo 2

Lembrando a propriedade de linearidade: para quaisquer escalares a,b e vetor (x,y), vale
(aS + bT)(x,y) = a,S(x,y) + b,T(x,y)

Passo 3

Calculamos separadamente:
2S(x,y) = 2,(x-2y,,y) = (2x - 4y,,2y),
3T(x,y) = 3,(2x,,x+2y) = (6x,,3x + 6y)

Passo 4

Somando as coordenadas:
(2x - 4y,,2y) + (6x,,3x + 6y) = l((2x-4y)+6x,,2y+(3x+6y)r) = (8x - 4y,,3x + 8y)

Resposta

O operador 2S + 3T é dado por
$$(2S + 3T)(x,y) = (8x - 4y,,3x + 8y).
$$

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