Seja f(x)=x+e^x, x in[a, b] subset R, e seja g a inversa de f. Mostre que g é derivável e que g^prime(x)=11+e^g(x), para todo x in[a, b]. [Sugestão: observe que f é estritamente crescente no intervalo fechado [a, b], e portanto f é invertível neste intervalo]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a inversa g da função f(x)=x+e^x, definida em um intervalo fechado [a,b], é derivável e satisfaz g'(x)=1/[1+e^g(x)]. O conteúdo principal aqui é o Teorema da Função Inversa, e vamos precisar saber que se f' é contínua e nunca nula, então f é invertível e sua inversa é diferenciável com derivada dada por g'(y)=1/f'(g(y)).

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de f. Como f(x)=x+e^x, temos
f'(x)=1+e^x
Note que para todo xin[a,b] vale e^x>0, logo f'(x)>0. Assim, f' é contínua e estritamente positiva em [a,b].

Passo 3

Como f' não muda de sinal (é sempre maior que zero), a função f é estritamente crescente em [a,b]. Um resultado do cálculo diz que uma função contínua e estritamente monótona em um intervalo fechado é bijetora desse intervalo ao seu imagem, e portanto possui inversa g.

Passo 4

Pelo Teorema da Função Inversa, se f é C^1 em [a,b] e f'(x)ne0 para todo x, então a inversa g é C^1 em [f(a),f(b)] e sua derivada é
g'(y)=1f'(g(y))
Aqui estamos identificando y=x no enunciado final, pois g é vista como função de x. Basta agora substituir f'. Como f'(u)=1+e^u, para u=g(x) obtemos
g'(x)=11+e^g(x)

Resposta

g é derivável e g’(x)=1/(1+e^{g(x)})

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