Seja
, e seja
a inversa de
. Mostre que
é derivável e que
, para todo
. [Sugestão: observe que
é estritamente crescente no intervalo fechado
, e portanto
é invertível neste intervalo]
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a inversa
da função
, definida em um intervalo fechado
, é derivável e satisfaz
. O conteúdo principal aqui é o Teorema da Função Inversa, e vamos precisar saber que se
é contínua e nunca nula, então
é invertível e sua inversa é diferenciável com derivada dada por
.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada de
. Como
, temos
Note que para todo
vale
, logo
. Assim,
é contínua e estritamente positiva em
.
Passo 3
Como
não muda de sinal (é sempre maior que zero), a função
é estritamente crescente em
. Um resultado do cálculo diz que uma função contínua e estritamente monótona em um intervalo fechado é bijetora desse intervalo ao seu imagem, e portanto possui inversa
.
Passo 4
Pelo Teorema da Função Inversa, se
é
em
e
para todo
, então a inversa
é
em
e sua derivada é
Aqui estamos identificando
no enunciado final, pois
é vista como função de
. Basta agora substituir
. Como
, para
obtemos
Resposta
g é derivável e g’(x)=1/(1+e^{g(x)})