Seja X um v.a. que nos indica o número de automóveis procurados por um dia num certo stand probabilidade da v.a. X dada por:
x 0 1 2 3 4
P(X=x) 1 / 20 p q 1 / 3 1 / 4
a. Sabendo que, em 75 % dos dias são procurados pelo menos dois automóveis, calcule p e q.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma variável aleatória $ X $ que representa o número de carros procurados por dia em um stand. As probabilidades para cada número de carros são dadas em uma tabela, mas alguns valores estão representados por $ p $ e $ q $. A gente sabe também que, em 75% dos dias, pelo menos dois carros são procurados. Nosso objetivo é descobrir os valores de $ p $ e $ q $. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade básica, como a soma das probabilidades e eventos complementares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a soma de todas as probabilidades de uma variável aleatória discreta deve ser igual a 1. Ou seja:
P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 1
Substituindo os valores que a gente tem:
120 + p + q + 13 + 14 = 1

Passo 3

Vamos somar as frações que já conhecemos. Primeiro, vamos achar um denominador comum para facilitar:
120 + 13 + 14 = 360 + 2060 + 1560 = 3860 = 1930
Então, a equação fica:
p + q + 1930 = 1

Passo 4

Agora, vamos isolar $ p + q $:
p + q
Então, temos nossa primeira equação:
p + q = 1 - 1930 = 3030 - 1930 = 1130

Passo 5

A segunda informação que a gente tem é que, em 75% dos dias, pelo menos dois carros são procurados. Isso significa que:
P(X >= 2) = 0.75
Sabendo que $ P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) $, vamos substituir os valores:
P(X >= 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)

Passo 6

Vamos somar as frações novamente:
13 + 14 = 412 + 312 = 712
Então, a equação fica:
q + 712 = 0.75

Passo 7

Isolando $ q $:
q
Agora, já sabemos que $ q = \frac{1}{6} $.

Passo 8

Voltando à primeira equação $ p + q = \frac{11}{30} $ e substituindo $ q $ por $ \frac{1}{6} $:
p + q = 1130
Isolando $ p $:
q

Resposta

Os valores são $ p = \frac{1}{5} $ e $ q = \frac{1}{6} $.

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