Seja X um v.a. que nos indica o número de automóveis procurados por um dia num certo stand probabilidade da v.a. X dada por:
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
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a. Sabendo que, em
dos dias são procurados pelo menos dois automóveis, calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma variável aleatória $ X $ que representa o número de carros procurados por dia em um stand. As probabilidades para cada número de carros são dadas em uma tabela, mas alguns valores estão representados por $ p $ e $ q $. A gente sabe também que, em 75% dos dias, pelo menos dois carros são procurados. Nosso objetivo é descobrir os valores de $ p $ e $ q $. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade básica, como a soma das probabilidades e eventos complementares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a soma de todas as probabilidades de uma variável aleatória discreta deve ser igual a 1. Ou seja:
Substituindo os valores que a gente tem:
Passo 3
Vamos somar as frações que já conhecemos. Primeiro, vamos achar um denominador comum para facilitar:
Então, a equação fica:
Passo 4
Agora, vamos isolar $ p + q $:
Então, temos nossa primeira equação:
Passo 5
A segunda informação que a gente tem é que, em 75% dos dias, pelo menos dois carros são procurados. Isso significa que:
Sabendo que $ P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) $, vamos substituir os valores:
Passo 6
Vamos somar as frações novamente:
Então, a equação fica:
Passo 7
Isolando $ q $:
Agora, já sabemos que $ q = \frac{1}{6} $.
Passo 8
Voltando à primeira equação $ p + q = \frac{11}{30} $ e substituindo $ q $ por $ \frac{1}{6} $:
Isolando $ p $:
Resposta
Os valores são $ p = \frac{1}{5} $ e $ q = \frac{1}{6} $.