Quais os métodos de integração terão maior acurácia para uma função polinomial de
QUESTÃO
grau 1?
(A ) somente regra do trapézio
(B) somente a regra de Simpson
(C) somente métodos de quadratura gaussiana
(D ) todos serão iguais quanto à acurácia
Justifique sua resposta ( RESPOSTA SEM JUSTIFICATIVA NÃO SERÁ CONSIDERADA)
QUESTÃO
(A ) somente regra do trapézio
(B) somente a regra de Simpson
(C) somente métodos de quadratura gaussiana
(D ) todos serão iguais quanto à acurácia
Justifique sua resposta ( RESPOSTA SEM JUSTIFICATIVA NÃO SERÁ CONSIDERADA)
Passo 1
O enunciado pergunta: “Quais os métodos de integração terão maior acurácia para uma função polinomial de grau
?” e oferece quatro alternativas:
(A) somente regra do trapézio
(B) somente a regra de Simpson
(C) somente métodos de quadratura gaussiana
(D) todos serão iguais quanto à acurácia
(A) somente regra do trapézio
(B) somente a regra de Simpson
(C) somente métodos de quadratura gaussiana
(D) todos serão iguais quanto à acurácia
Informações explícitas do enunciado:
isto é, uma função da forma
definida num intervalo
.
O que se pede: escolher qual alternativa está correta e justificar por que aquela(s) regra(s) têm maior acurácia para esse caso.
O que se pede: escolher qual alternativa está correta e justificar por que aquela(s) regra(s) têm maior acurácia para esse caso.
Passo 2
Entendendo o que significa “acurácia” aqui: em integração numérica, frequentemente comparamos métodos pelo fato de serem exatos (erro zero) para polinômios até certa ordem. Essa propriedade chama-se grau de exatidão ou precisão algébrica. Vou mostrar para cada método que erro sobra (ou não) quando
.
Começo pela regra do trapézio (a forma simples, numa única subintervalo
). A fórmula é
Calculemos a integral exata de
:
Agora manipulo a expressão do trapézio para a mesma
. Temos
então
Usando
obtemos
Portanto
coincide com a integral exata. Conclusão: a regra do trapézio é exatamente correta para polinômios de grau
(erro zero).
Passo 3
Agora a regra de Simpson (forma usual aplicada a
com o ponto médio
). A fórmula é
Para
temos
. Substituindo:
Calcule o somatório:
Simplificando:
Logo
que é exatamente a mesma expressão que encontramos para a integral exata (veja Passo 2). Portanto Simpson também dá resultado exato para polinômios de grau
.
Observação didática curta: Simpson é exato para polinômios até grau
, então automaticamente inclui o caso grau
.
Passo 4
Agora a quadratura gaussiana (especificamente Gauss–Legendre). A propriedade fundamental é: uma regra de Gauss com
pontos é exata para todo polinômio de grau até
. Em particular, mesmo a Gauss de
ponto (a regra do ponto médio deslocado para Gauss) é exata para polinômios até grau
. Assim, para qualquer implementação típica de quadratura gaussiana com pelo menos um ponto a regra será exata para
. Conclusão: métodos de quadratura gaussiana também produzem erro zero nesse caso.
Passo 5
Uma explicação alternativa e muito prática usando termos de derivadas (útil para provas): os termos de erro padrão dessas regras envolvem derivadas de ordem superior à do polinômio; por exemplo, para a regra do trapézio (num único subintervalo) existe um
tal que
Para
temos
para todo
, logo
. Para Simpson existe um termo de erro com
multiplicando um fator em
; como todas essas derivadas superiores também são zero para um polinômio de grau
, o erro de Simpson é zero. Para Gauss o erro envolve derivadas de ordem ainda maior que também anulam-se para polinômios de baixo grau. Isso confirma de forma generalizada que todas as regras apresentadas dão a integral exata quando
é linear.
Passo 6
Resumo e comparação prática: para uma função polinomial de grau
(linear), a regra do trapézio, a regra de Simpson e as quadraturas gaussianas (com pelo menos um nó) são todas exatas — ou seja, todas têm a mesma acurácia perfeita (erro zero). Portanto todas as alternativas apresentadas que afirmem exclusividade de um método estão incorretas; a opção correta é a que diz que todos serão iguais quanto à acurácia.
Resposta
(D)