Quais os métodos de integração terão maior acurácia para uma função polinomial de
QUESTÃO 2-(1,0) grau 1?
(A ) somente regra do trapézio
(B) somente a regra de Simpson
(C) somente métodos de quadratura gaussiana
(D ) todos serão iguais quanto à acurácia
Justifique sua resposta ( RESPOSTA SEM JUSTIFICATIVA NÃO SERÁ CONSIDERADA)

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quais os métodos de integração terão maior acurácia para uma função polinomial de grau 1?” e oferece quatro alternativas:
(A) somente regra do trapézio
(B) somente a regra de Simpson
(C) somente métodos de quadratura gaussiana
(D) todos serão iguais quanto à acurácia
Informações explícitas do enunciado:
\text{A função considerada é um polinômio de grau }1,çãéô
isto é, uma função da forma \;f(x)=ax+b\; definida num intervalo [A,B].
O que se pede: escolher qual alternativa está correta e justificar por que aquela(s) regra(s) têm maior acurácia para esse caso.

Passo 2

Entendendo o que significa “acurácia” aqui: em integração numérica, frequentemente comparamos métodos pelo fato de serem exatos (erro zero) para polinômios até certa ordem. Essa propriedade chama-se grau de exatidão ou precisão algébrica. Vou mostrar para cada método que erro sobra (ou não) quando f(x)=ax+b.
Começo pela regra do trapézio (a forma simples, numa única subintervalo [A,B]). A fórmula é
T = \frac{B-A}{2}\bigl(f(A)+f(B)\bigr).
Calculemos a integral exata de f(x)=ax+b:
\int_{A}^{B} (ax+b)\,dx = \left[\frac{a}{2}x^2 + bx\right]_{A}^{B} = \frac{a}{2}(B^2-A^2) + b(B-A).
Agora manipulo a expressão do trapézio para a mesma f. Temos
f(A)=aA+b,\qquad f(B)=aB+b,
então
T = \frac{B-A}{2}\bigl(aA+b + aB+b\bigr) = \frac{B-A}{2}\bigl(a(A+B) + 2b\bigr).
Usando B^2-A^2=(B-A)(A+B) obtemos
\frac{a}{2}(B^2-A^2) + b(B-A) = \frac{B-A}{2}\bigl(a(A+B)+2b\bigr).
Portanto T coincide com a integral exata. Conclusão: a regra do trapézio é exatamente correta para polinômios de grau 1 (erro zero).

Passo 3

Agora a regra de Simpson (forma usual aplicada a [A,B] com o ponto médio M=\tfrac{A+B}{2}). A fórmula é
S = \frac{B-A}{6}\bigl(f(A) + 4f(M) + f(B)\bigr).
Para f(x)=ax+b temos f(M)=aM+b = a\frac{A+B}{2}+b. Substituindo:
f(A)+4f(M)+f(B) = (aA+b) + 4\Bigl(a\frac{A+B}{2}+b\Bigr) + (aB+b).
Calcule o somatório:
= aA+b + 2a(A+B)+4b + aB+b = a(A + 2A + 2B + B) + (b+4b+b).
Simplificando:
= a\cdot 3(A+B) + 6b = 3\bigl(a(A+B)+2b\bigr).
Logo
S = \frac{B-A}{6}\cdot 3\bigl(a(A+B)+2b\bigr) = \frac{B-A}{2}\bigl(a(A+B)+2b\bigr),
que é exatamente a mesma expressão que encontramos para a integral exata (veja Passo 2). Portanto Simpson também dá resultado exato para polinômios de grau 1.
Observação didática curta: Simpson é exato para polinômios até grau 3, então automaticamente inclui o caso grau 1.

Passo 4

Agora a quadratura gaussiana (especificamente Gauss–Legendre). A propriedade fundamental é: uma regra de Gauss com n pontos é exata para todo polinômio de grau até 2n-1. Em particular, mesmo a Gauss de n=1 ponto (a regra do ponto médio deslocado para Gauss) é exata para polinômios até grau 1. Assim, para qualquer implementação típica de quadratura gaussiana com pelo menos um ponto a regra será exata para f(x)=ax+b. Conclusão: métodos de quadratura gaussiana também produzem erro zero nesse caso.

Passo 5

Uma explicação alternativa e muito prática usando termos de derivadas (útil para provas): os termos de erro padrão dessas regras envolvem derivadas de ordem superior à do polinômio; por exemplo, para a regra do trapézio (num único subintervalo) existe um \xi\in(A,B) tal que
E_T = -\frac{(B-A)^3}{12}\,f''(\xi).
Para f(x)=ax+b temos f''(x)=0 para todo x, logo E_T=0. Para Simpson existe um termo de erro com f^{(4)}(\xi) multiplicando um fator em (B-A)^5; como todas essas derivadas superiores também são zero para um polinômio de grau 1, o erro de Simpson é zero. Para Gauss o erro envolve derivadas de ordem ainda maior que também anulam-se para polinômios de baixo grau. Isso confirma de forma generalizada que todas as regras apresentadas dão a integral exata quando f é linear.

Passo 6

Resumo e comparação prática: para uma função polinomial de grau \;1 (linear), a regra do trapézio, a regra de Simpson e as quadraturas gaussianas (com pelo menos um nó) são todas exatas — ou seja, todas têm a mesma acurácia perfeita (erro zero). Portanto todas as alternativas apresentadas que afirmem exclusividade de um método estão incorretas; a opção correta é a que diz que todos serão iguais quanto à acurácia.

Resposta

(D)

Exercícios relacionados