QUESTÃO 3(3,0)
Considere a seguinte Equação Diferencial Ordinária \left\{\begin{array}{l}y^{\prime}(x)+2 y(x)=0 \quad \forall x \in[0,1] \\\ y(0)=1\end{array}\right.
(a) Verifique que a solução a solução exata da equação é y(x)=e^{-2 x}
(b) Determine a solução numérica aproximada, com o passo \mathrm{h}=0.2, usando Método de Euler Aperfeiçoado
(c) Determine a solução numérica aproximada, com o passo \mathrm{h}=0.2, usando o Método de Runge-Kutta de 4^{\circ} ordem.
(d) Calcule o erro global para cada Método
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
As perguntas são:
(a) verificar a solução exata;
(b) calcular a solução numérica com passo h=0,2 usando o Método de Euler Aperfeiçoado (Heun);
(c) calcular a solução numérica com passo h=0,2 usando o Método de Runge–Kutta de 4ª ordem;
(d) calcular o erro global (no ponto final x=1) para cada método.
Informações relevantes fornecidas: a equação diferencial, a condição inicial y(0)=1, o intervalo [0,1] e o passo h=0,2. Vamos trabalhar na malha x_n=0,0{,}2,0{,}4,0{,}6,0{,}8,1{,}0 (total de 5 passos).]
Passo 2
(a) Verificação da solução exata \,y(x)=e^{-2x}.
Explicação / mini-aula: Para equações lineares simples da forma y'+a y=0 (com a constante), podemos usar separação de variáveis ou reconhecer que soluções exponenciais são naturais. Faço separação:
Verificação rápida substituindo na equação: y'(x) = -2e^{-2x} e y'(x)+2y(x) = -2e^{-2x}+2e^{-2x}=0. Portanto \,y(x)=e^{-2x} é solução com a condição inicial dada.
Passo 3
Preparação para métodos numéricos e função do problema.
Defino a função do problema (o lado direito da EDO) por
f(x,y)=y'=-2y.
Observação útil: f depende só de y (autônoma linear), o que simplifica fórmulas.
A malha com h=0{,}2 tem nós \,x_n=0{,}0{,}2{,}0{,}4{,}0{,}6{,}0{,}8{,}1{,}0. Vou denotar aproximações por y_n\approx y(x_n) e começar com y_0=1.
Passo 4
(b) Método de Euler Aperfeiçoado (Heun). Fórmula e mini-aula.
Heun (Euler aperfeiçoado) é o método do trapézio explícito em duas etapas (preditor-corretor):
preditor (Euler explícito): \displaystyle \tilde{y}_{n+1}=y_n + h f(x_n,y_n),
corretor (média das inclinações): \displaystyle y_{n+1}=y_n + \frac{h}{2}\big(f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},\tilde{y}_{n+1})\big).
Aqui f(x,y)=-2y. Faço as contas de forma simbólica para simplificar:
\tilde{y}_{n+1}=y_n + h(-2y_n)=y_n(1-2h).
Com h=0{,}2 temos 1-2h=1-0{,}4=0{,}6, logo \tilde{y}_{n+1}=0{,}6\,y_n.
A inclinação no preditor é f(x_{n+1},\tilde y_{n+1})=-2\tilde y_{n+1}=-2(0{,}6y_n)=-1{,}2y_n.
Aplicando a fórmula do corretor:
Como f(x,y)=-2y (dependendo só de y), podemos simplificar simbolicamente para obter um multiplicador por passo. Faço os cálculos algébricamente (mostro os pontos essenciais):