QUESTÃO 3(3,0)
Considere a seguinte Equação Diferencial Ordinária
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}(x)+2 y(x)=0 \quad \forall x \in[0,1] \\\ y(0)=1\end{array}\right.
(a) Verifique que a solução a solução exata da equação é y(x)=e^{-2 x}
(b) Determine a solução numérica aproximada, com o passo \mathrm{h}=0.2, usando Método de Euler Aperfeiçoado
(c) Determine a solução numérica aproximada, com o passo \mathrm{h}=0.2, usando o Método de Runge-Kutta de 4^{\circ} ordem.
(d) Calcule o erro global para cada Método

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
\begin{cases} y'(x)+2y(x)=0, & \forall x\in[0,1],\\[4pt] y(0)=1. \end{cases}
As perguntas são:
(a) verificar a solução exata;
(b) calcular a solução numérica com passo h=0,2 usando o Método de Euler Aperfeiçoado (Heun);
(c) calcular a solução numérica com passo h=0,2 usando o Método de Runge–Kutta de 4ª ordem;
(d) calcular o erro global (no ponto final x=1) para cada método.
Informações relevantes fornecidas: a equação diferencial, a condição inicial y(0)=1, o intervalo [0,1] e o passo h=0,2. Vamos trabalhar na malha x_n=0,0{,}2,0{,}4,0{,}6,0{,}8,1{,}0 (total de 5 passos).]

Passo 2

(a) Verificação da solução exata \,y(x)=e^{-2x}.
Explicação / mini-aula: Para equações lineares simples da forma y'+a y=0 (com a constante), podemos usar separação de variáveis ou reconhecer que soluções exponenciais são naturais. Faço separação:
y'+2y=0\quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -2y.
Separe variáveis e integre:
\frac{dy}{y} = -2\,dx \quad\Longrightarrow\quad \int\frac{dy}{y} = \int -2\,dx.
As integrais dão:
\ln|y| = -2x + C.
Exponentiando:
|y| = e^{C} e^{-2x}.
Como y(0)=1>0, temos e^{C}=1, logo
y(x)=e^{-2x}.
Verificação rápida substituindo na equação: y'(x) = -2e^{-2x} e y'(x)+2y(x) = -2e^{-2x}+2e^{-2x}=0. Portanto \,y(x)=e^{-2x} é solução com a condição inicial dada.

Passo 3

Preparação para métodos numéricos e função do problema.
Defino a função do problema (o lado direito da EDO) por
f(x,y)=y'=-2y.
Observação útil: f depende só de y (autônoma linear), o que simplifica fórmulas.
A malha com h=0{,}2 tem nós \,x_n=0{,}0{,}2{,}0{,}4{,}0{,}6{,}0{,}8{,}1{,}0. Vou denotar aproximações por y_n\approx y(x_n) e começar com y_0=1.

Passo 4

(b) Método de Euler Aperfeiçoado (Heun). Fórmula e mini-aula.
Heun (Euler aperfeiçoado) é o método do trapézio explícito em duas etapas (preditor-corretor):
  • preditor (Euler explícito): \displaystyle \tilde{y}_{n+1}=y_n + h f(x_n,y_n),
  • corretor (média das inclinações): \displaystyle y_{n+1}=y_n + \frac{h}{2}\big(f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},\tilde{y}_{n+1})\big).
Aqui f(x,y)=-2y. Faço as contas de forma simbólica para simplificar:
\tilde{y}_{n+1}=y_n + h(-2y_n)=y_n(1-2h).
Com h=0{,}2 temos 1-2h=1-0{,}4=0{,}6, logo \tilde{y}_{n+1}=0{,}6\,y_n.
A inclinação no preditor é f(x_{n+1},\tilde y_{n+1})=-2\tilde y_{n+1}=-2(0{,}6y_n)=-1{,}2y_n.
Aplicando a fórmula do corretor:
y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}\big(-2y_n + (-1{,}2y_n)\big)=y_n+\frac{0{,}2}{2}(-3{,}2y_n)=y_n-0{,}32y_n=0{,}68\,y_n.
Então o método reduz-se a multiplicar por 0{,}68 a cada passo:
y_n=(0{,}68)^n y_0.
Como y_0=1, calculo os valores em cada nó:
\begin{aligned} y_0&=1,\\\ y_1&=0{,}68,\\\ y_2&=(0{,}68)^2=0{,}4624,\\\ y_3&=(0{,}68)^3=0{,}314432,\\\ y_4&=(0{,}68)^4=0{,}21381376,\\\ y_5&=(0{,}68)^5=0{,}1453933568. \end{aligned}

Passo 5

(c) Método de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4). Fórmula, mini-aula e simplificação.
Fórmula clássica do RK4 por passo:
\begin{aligned} k_1&=f(x_n,y_n),\\[2pt] k_2&=f\Big(x_n+\frac{h}{2},\,y_n+\frac{h}{2}k_1\Big),\\[2pt] k_3&=f\Big(x_n+\frac{h}{2},\,y_n+\frac{h}{2}k_2\Big),\\[2pt] k_4&=f(x_n+h,\,y_n+h k_3),\\[2pt] y_{n+1}&=y_n+\frac{h}{6}\big(k_1+2k_2+2k_3+k_4\big). \end{aligned}
Como f(x,y)=-2y (dependendo só de y), podemos simplificar simbolicamente para obter um multiplicador por passo. Faço os cálculos algébricamente (mostro os pontos essenciais):
\begin{aligned} k_1&=-2y_n,\\[4pt] k_2&=-2\Big(y_n+\frac{h}{2}k_1\Big)=-2y_n(1-h),\\[4pt] k_3&=-2\Big(y_n+\frac{h}{2}k_2\Big)=-2y_n(1-h+h^2),\\[4pt] k_4&=-2\Big(y_n+h k_3\Big)=-2y_n(1-2h+2h^2-2h^3). \end{aligned}
Substituindo na fórmula de atualização e simplificando (passos algébricos dados no desenvolvimento),
y_{n+1}=y_n\Big(1-2h+2h^2-\tfrac{4}{3}h^3+\tfrac{2}{3}h^4\Big).
Para h=0{,}2 calculo o multiplicador:
\begin{aligned} M(h)&=1-2h+2h^2-\tfrac{4}{3}h^3+\tfrac{2}{3}h^4,\\[4pt] M(0{,}2)&=1-0{,}4+0{,}08-0{,}010666\ldots+0{,}001066\ldots=0{,}6704. \end{aligned}
Ou seja, por passo o método multiplica por 0{,}6704. Assim
y_n=(0{,}6704)^n y_0.
Com y_0=1, calculo os valores (usando as potências exatas em decimal com precisão mostrada):
\begin{aligned} y_0&=1,\\\ y_1&=0{,}6704,\\\ y_2&=(0{,}6704)^2=0{,}44943616,\\\ y_3&=(0{,}6704)^3=0{,}301302001664,\\\ y_4&=(0{,}6704)^4=0{,}2019928619155456,\\\ y_5&=(0{,}6704)^5=0{,}13541601462718177. \end{aligned}]

Passo 6

(d) Cálculo do erro global (no ponto final x=1) para cada método.
Definição usada: erro global no ponto final é |y(1)-y_N|, com y(1)= solução exata e y_N aproximação numérica em x=1.
A solução exata em x=1 é
y(1)=e^{-2}\approx 0{,}1353352832366127.
Erro do Euler Aperfeiçoado:
\begin{aligned} y_{5}^{\text{Heun}}&=0{,}1453933568,\\\ \text{erro}_{\text{Heun}}&=\big|0{,}1453933568-0{,}1353352832366127\big|\\\ &\approx 0{,}0100580735633873. \end{aligned}
Erro do RK4:
\begin{aligned} y_{5}^{\text{RK4}}&=0{,}13541601462718177,\\\ \text{erro}_{\text{RK4}}&=\big|0{,}13541601462718177-0{,}1353352832366127\big|\\\ &\approx 0{,}00008073139056907. \end{aligned}
Interpretação rápida: o RK4 dá erro muito menor (ordem 10^{-4} a 10^{-5} neste caso) enquanto o Heun com este h dá erro da ordem 10^{-2}.

Resposta

(a) y(x)=e^{-2x}.
(b) Euler Aperfeiçoado ( h=0{,}2):
y_0=1,\; y_1=0{,}68,\; y_2=0{,}4624,\; y_3=0{,}314432,\; y_4=0{,}21381376,\; y_5=0{,}1453933568.
(c) Runge–Kutta 4ª ordem ( h=0{,}2):
y_0=1,\; y_1=0{,}6704,\; y_2=0{,}44943616,\; y_3=0{,}301302001664,\; y_4=0{,}2019928619155456,\; y_5=0{,}13541601462718177.
(d) Erro global no ponto x=1:
\text{Erro}_{\text{Heun}} \approx 0{,}0100580735633873, \quad \text{Erro}_{\text{RK4}} \approx 0{,}00008073139056907.

Exercícios relacionados