Utilize o teorema adequado para resolver o seguinte item:
Calcule o fluxo de
F(x, y, z)=(x^3-z) i+(x z+y^3) j+2 x y k,
através da superfície S, que é o sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=1 e pelos planos z=x+1 e z=0.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular o fluxo de
F(x,y,z)=(x^3-z),i+(xz+y^3),j+2xy,k
através da superfície fechada S que limita o sólido V dado por
x^2+y^2<=1, 0<= z<= x+1
O conteúdo central aqui é o Teorema da Divergência (Gauss), que nos permite trocar o fluxo pela fronteira por um integral triplo do divergente em V.

Passo 2

Calculamos o divergente de F:
nablacdotF =partialpartial x(x^3-z) +partialpartial y(xz+y^3) +partialpartial z(2xy) =3x^2+3y^2

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência temos
integral duplaSFcdotn,dS =integral triplaVl(nablacdotFr),dV =integral triplaV3l(x^2+y^2r),dV
Para avaliar esse integral, usamos coordenadas cilíndricas
;x=rcostheta,;y=rsintheta;, de forma que
x^2+y^2=r^2 e dV=r,dr,dtheta,dz.
O domínio V fica
0<= r<=1, 0<=theta<=2pi, 0<= z<= rcostheta+1

Passo 4

Montamos o integral em ordem dz,dr,dtheta:
integral triplaV3r^2,dV =integral0^2pi!integral0^1!integral0^rcostheta+13r^2,(r,dz),dr,dtheta =integral0^2pi!integral0^13r^3,(rcostheta+1),dr,dtheta
=integral0^2pi!integral0^1l(3r^4costheta+3r^3r),dr,dtheta

Passo 5

O termo com costheta se anula ao integrar em theta, pois
integral0^2picostheta,dtheta=0. Resta
integral0^2pi!integral0^13r^3,dr,dtheta =l(integral0^2pidthetar)l(integral0^13r^3,drr) =2picdot34 =3pi2

Resposta

3pi2

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