Seja n um inteiro positivo cuja expressão na base b=10 é dada por
n=a_{k} \cdot b^{k}+a_{k-1} \cdot b^{k-1}+a_{k-2} \cdot b^{k-2}+\cdots+a_{2} \cdot b^{2}+a_{1} \cdot b+a_{0}
onde os algarismos a_{k}, a_{k-1}, a_{k-2}, \cdots, a_{2}, a_{1}, a_{0} \in\{0,1,2,3, \ldots, 9\}. Mostre que:
3 \mid n se e somente se, 3 \mid\left(a_{k}+a_{k-1}+a_{k-2}+\cdots+a_{2}+a_{1}+a_{0}\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro positivo n escrito em base b=10 como
n = a_{k}10^{k} + a_{k-1}10^{k-1} + \cdots + a_{1}10 + a_{0},
temos
3 \mid n \quad\Longleftrightarrow\quad 3 \mid \bigl(a_{k} + a_{k-1} + \cdots + a_{1} + a_{0}\bigr).
O conteúdo aqui é teoria de congruências e propriedades de divisibilidade módulo 3.

Passo 2

Lembrando que, para quaisquer inteiros x,y e qualquer módulo m, se x \equiv y \pmod{m} então m\mid x se e somente se m\mid y. Vamos aplicar isso com m=3.

Passo 3

Observe que
10 \equiv 1 \pmod{3},
porque 10 - 1 = 9 é múltiplo de 3. Logo, elevando ao expoente j, temos
10^{j} \equiv 1^{j} \equiv 1 \pmod{3} \quad\text{para todo }j\ge0.

Passo 4

Aplique essa congruência à expansão de n:
n = \sum_{j=0}^{k} a_{j} \,10^{j} \equiv \sum_{j=0}^{k} a_{j}\cdot 1 = \sum_{j=0}^{k} a_{j} \pmod{3}.
Isso mostra que n\equiv a_{k}+a_{k-1}+\cdots+a_{0}\pmod{3}.

Passo 5

Pelo resultado do passo anterior, n é múltiplo de 3 (isto é, 3\mid n) se e somente se o somatório dos dígitos \sum_{j=0}^{k}a_{j} for múltiplo de 3.

Resposta

Foi demonstrado que
3 \mid n \quad\Longleftrightarrow\quad 3 \mid \bigl(a_{k}+a_{k-1}+\cdots+a_{1}+a_{0}\bigr).

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