Seja
um inteiro positivo cuja expressão na base
é dada por
onde os algarismos
. Mostre que:
se e somente se,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro positivo
escrito em base
como
temos
O conteúdo aqui é teoria de congruências e propriedades de divisibilidade módulo 3.
Passo 2
Lembrando que, para quaisquer inteiros
e qualquer módulo
, se
então
se e somente se
. Vamos aplicar isso com
.
Passo 3
Observe que
porque
é múltiplo de 3. Logo, elevando ao expoente
, temos
Passo 4
Aplique essa congruência à expansão de
:
Isso mostra que
.
Passo 5
Pelo resultado do passo anterior,
é múltiplo de 3 (isto é,
) se e somente se o somatório dos dígitos
for múltiplo de 3.
Resposta
Foi demonstrado que