Seja
um inteiro positivo cuja expressão na base
é dada por
onde os algarismos
. Mostre que:
se e somente se,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar o critério de divisibilidade por 5 de um inteiro
dado em base 10 pela expansão
com
. O conteúdo aqui é aritmética modular: vamos usar que
para simplificar a expressão de
módulo 5.
Passo 2
Escrevendo
vemos que, para todo
,
logo cada termo
com
é múltiplo de 5.
Passo 3
Dessa forma, ao passar a soma acima para o módulo 5, sobra apenas o termo
:
Isto implica que
se e somente se
.
Resposta
A condição
é equivalente a
.