Seja n um inteiro positivo cuja expressão na base b=10 é dada por
n=a_{k} \cdot b^{k}+a_{k-1} \cdot b^{k-1}+a_{k-2} \cdot b^{k-2}+\cdots+a_{2} \cdot b^{2}+a_{1} \cdot b+a_{0}
onde os algarismos a_{k}, a_{k-1}, a_{k-2}, \cdots, a_{2}, a_{1}, a_{0} \in\{0,1,2,3, \ldots, 9\}. Mostre que:
5 \mid n se e somente se, 5 \mid a_{0}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar o critério de divisibilidade por 5 de um inteiro n dado em base 10 pela expansão
n = a_k \cdot 10^k + a_{k-1}\cdot10^{k-1} + \cdots + a_1\cdot10 + a_0
com a_i\in\{0,1,2,\dots,9\}. O conteúdo aqui é aritmética modular: vamos usar que 10\equiv0\pmod5 para simplificar a expressão de n módulo 5.

Passo 2

Escrevendo
n = \sum_{i=0}^{k} a_i\,10^i
vemos que, para todo i\ge1,
10^i = 10\cdot10^{\,i-1}\equiv0\pmod5,
logo cada termo a_i\,10^i com i\ge1 é múltiplo de 5.

Passo 3

Dessa forma, ao passar a soma acima para o módulo 5, sobra apenas o termo i=0:
n \equiv a_0 \pmod5.
Isto implica que 5\mid n se e somente se 5\mid a_0.

Resposta

A condição 5\mid n é equivalente a 5\mid a_0.

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