Seja P o espaço vetorial dos polinômios. Verifique se os polinômios p(x) satisfazendo p(1)+p(2)+p(3)=0 constitui um subespaço vetorial de P.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos verificar se o conjunto
W = ,p(x)inPmid p(1)+p(2)+p(3)=0
é um subespaço de P. Lembrando a definição, para ser subespaço precisamos mostrar que
  1. o polinômio nulo está em W,
  2. W é fechado sob soma,
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o polinômio nulo p0(x)=0 satisfaz
p0(1)+p0(2)+p0(3)=0+0+0=0,
logo p0in W.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam p e q em W. Então
p(1)+p(2)+p(3)=0 e q(1)+q(2)+q(3)=0
Somando termo a termo,
l(p(1)+q(1)r)+l(p(2)+q(2)r)+l(p(3)+q(3)r) =l(p(1)+p(2)+p(3)r)+l(q(1)+q(2)+q(3)r)=0+0=0
Portanto p+q satisfaz a condição e está em W.

Passo 4

Fechamento sob escalar: seja pin W e alphainR. Como p(1)+p(2)+p(3)=0, temos
(alpha p)(1)+(alpha p)(2)+(alpha p)(3) =alphal(p(1)+p(2)+p(3)r)=alphacdot0=0
Logo alpha pin W.

Passo 5

Como W contém o polinômio zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço de P.

Resposta

O conjunto pinPmid p(1)+p(2)+p(3)=0 é um subespaço vetorial de P.

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