Verificar se as aplicações seguintes de mathbbR^3 em mathbbR^3 são transformações lineares :
f(x, y, z)=(x+2 y, 0, z-2 x)

Passo 1

Temos a aplicação f: R^3 to R^3 definida por
f(x,y,z) = (x + 2y,;0,;z - 2x)
O conteúdo aqui é transformações lineares, e vamos verificar se f satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade, ou seja, se para quaisquer vetores u,v em R^3 e escalar c em R vale f(u+v)=f(u)+f(v) e f(cu)=c,f(u).

Passo 2

Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
Calculando f(u+v):
f(u+v) =l((x1+x2)+2(y1+y2),;0,;(z1+z2)-2(x1+x2)r)
Reorganizando,
f(u+v) = (x1+2y1,;0,;z1-2x1) + (x2+2y2,;0,;z2-2x2) = f(u) + f(v)

Passo 3

Seja um escalar cinR e u=(x,y,z). Então
c,u=(cx,;cy,;cz)
Logo,
f(cu) = (cx+2,cy,;0,;cz-2,cx) = (c(x+2y),;0,;c(z-2x)) = c,(x+2y,;0,;z-2x) = c,f(u)
Portanto a homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

A aplicação f é uma transformação linear.

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