Seja L: M(m, n) M(m, n) definida por L(A)=lA^-1 ; se A é inversível 0 ; se Aé singular , A in M(m, n)éíé. L é uma transformação linear? Justifique.

Passo 1

O enunciado define uma aplicação
onde para cada é invertível},\ 0,&se é singular. \end{cases}]
Pergunta-se se é linear, ou seja, se para quaisquer e escalar valem

Passo 2

Para que L fosse linear, teríamos de satisfazer as duas propriedades acima. Basta encontrar um contraexemplo em que uma delas falhe. Vamos testar a propriedade de homogeneidade L(cA)=c,L(A).

Passo 3

Considere a matriz identidade Iin Mn(K) e o escalar c=2. Então I é invertível e 2I também. Calculamos
L(2I)=(2I)^-1=tfrac12,I,
enquanto
2,L(I)=2,I
Como tfrac12,Ineq 2,I, a igualdade L(2I)=2,L(I) não se verifica.

Passo 4

Como a propriedade de homogeneidade falha nesse exemplo, concluímos que L não preserva multiplicação por escalar e, portanto, não é transformação linear.

Resposta

L não é linear.

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