Seja R, S e T, três transformações lineares de R^3 em R^3. Se [R]=[ccc1 & 0 & 1 2 & 1 & 1 0 & -1 & 1] e [S]=[ccc-2 & 1 & -1 3 & 1 & 2 1 & 2 & 0], ache T tal que R=S circ T.

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares em R^3 com matrizes
[R]= 1 & 0 & 1 2 & 1 & 1 0 & -1 & 1 , [S]= -2 & 1 & -1 3 & 1 & 2 1 & 2 & 0 ,
e pede a transformação T tal que R = Scirc T. Como composição de transformações corresponde a produto de matrizes, temos
[R]=[S],[T]Longrightarrow [T]=[S]^-1[R]

Passo 2

Para achar [T] precisamos, portanto, calcular [S]^-1. Primeiro determinamos det(S). Usando expansão pela primeira linha,
det(S) =-21&22&0 -13&21&0 +(-1)3&11&2 = -2(1cdot0-2cdot2)-l(3cdot0-2cdot1r)-l(3cdot2-1cdot1r)=5
Como det(S)=5neq0, S é invertível.

Passo 3

Em seguida, montamos a matriz de cofatores de S, transpondo-a para obter a adjunta. O resultado é
adj(S) = -4 & -2 & 3 2 & 1 & 1 5 & 5 & -5 ,
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[S]^-1=1det(S),adj(S) =15 -4 & -2 & 3 2 & 1 & 1 5 & 5 & -5 = -tfrac45 & -tfrac25 & tfrac35 tfrac25 & tfrac15 & tfrac15 1 & 1 & -1

Passo 4

Agora multiplicamos [S]^-1 por [R]:
[T]=[S]^-1[R] = -tfrac45 & -tfrac25 & tfrac35 tfrac25 & tfrac15 & tfrac15 1 & 1 & -1 1 & 0 & 1 2 & 1 & 1 0 & -1 & 1
Fazendo o produto linha a coluna, obtemos
[T] = -tfrac85 & -1 & -tfrac35 tfrac45 & 0 & tfrac45 3 & 2 & 1

Resposta

A matriz de T no mesmo sistema de coordenadas é
[T] = -tfrac85 & -1 & -tfrac35 tfrac45 & 0 & tfrac45 3 & 2 & 1

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