Seja L: R^2 R^3, definida por L(x, y)=(x-2 y, 2 x+y, x+y). Sejam S e T as bases canônicas para R^2 e R^3, respectivamente. Além, disso, sejam S^prime=(1,-1),(0,1); T^prime=(1,1,0),(0,1,1),(1,-1,1) bases para R^2 e R^3. Encontre a matriz de L em relação a:
a) S e T
b) S^prime e T^prime
c) Calcule L(1,2) usando a definição e também as matrizes obtidas em (a) e (b).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Lcolon R^2 to R^3, L(x,y)=(x-2y,;2x+y,;x+y)
e pede:
a) a matriz de L nas bases canônicas S de R^2 e T de R^3;
b) a matriz de L nas bases S'=(1,-1),(0,1) e T'=(1,1,0),(0,1,1),(1,-1,1);
c) calcular L(1,2) usando a definição e também usando as matrizes de (a) e (b).
Para (a) usamos os vetores canônicos e1=(1,0), e2=(0,1).
Para (b) usamos a fórmula de mudança de base
[L]S',T' ;=; P^-1,[L]S,T;Q,
onde Q tem colunas as coordenadas de S' na base canônica e P tem colunas as coordenadas de T' na base canônica.

Passo 2

Calcular [L]S,T.
Em coordenadas canônicas, basta avaliar em e1 e e2:
L(e1)=L(1,0)=(1,2,1), L(e2)=L(0,1)=(-2,1,1)
Logo, a matriz 3times2 cujas colunas são esses vetores é
[L]S,T = 1 & -2 2 & 1 1 & 1

Passo 3

Calcular [L]S',T'.
1. A matriz Q de mudança de coordenadas de S' para a base canônica tem colunas os vetores de S':
Q= 1 & 0 -1 & 1
2. A matriz P de mudança de coordenadas de T' para a base canônica tem colunas os vetores de T':
P= 1 & 0 & 1 1 & 1 & -1 0 & 1 & 1
3. Calcula-se P^-1 (por exemplo, pelo método dos cofatores) e obtém-se
P^-1=13 2 & 1 & -1 -1& 1 & 2 1 & -1& 1
4. Finalmente
[L]S',T' = P^-1,[L]S,T;Q =13 2 & 1 & -1 -1& 1 & 2 1 & -1& 1 ; 1 & -2 2 & 1 1 & 1 ; 1 & 0 -1& 1 = 73 & -43[6pt] -23& 53[6pt] 23 & -23 ]

Passo 4

Calcular L(1,2) de três maneiras:
1. Pela definição:
L(1,2)=(1-2cdot2,;2cdot1+2,;1+2)=(-3,4,3)
2. Usando [L]S,T e o vetor coluna binom12:
[L]S,T,12 = 1 & -2 2 & 1 1 & 1 12 =-343
3. Usando [L]S',T': primeiro escrevemos (1,2) nas coordenadas de S':
(1,2)=a,(1,-1)+b,(0,1)implies a=1,;-1+b=2implies b=3,
então [,(1,2),]S'=binom13. Logo
[L]S',T'13 = 73 & -43 -23& 53 23 & -23 13 =-tfrac53tfrac133-tfrac43
são as coordenadas de L(1,2) na base T'. Convertendo de volta à base canônica de R^3 (multiplicando por P) recuperamos (-3,4,3).

Resposta

a) [L]S,T = 1 & -2 2 & 1 1 & 1
b) [L]S',T' = 73 & -43 -23& 53 23 & -23
c) L(1,2)=(-3,4,3), conferido pela definição, por [L]S,Tbinom12 e também por [L]S',T' seguido de conversão para a base canônica.

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