Seja o operador linear em definido por .
a) Mostre que é inverível
b) Estabeleça fórmulas para: .
Passo 1
O enunciado define o operador linear por
Pede-se (a) mostrar que é inversível e (b) encontrar fórmulas para , e .
Para isso vamos passar ao representa-ção matricial de , calcular seu determinante para ver invertibilidade e depois obter as composições e a inversa resolvendo sistemas.
Passo 2
Em base canônica, a matriz de é
pois
O determinante de é
Como , é inversível.
Passo 3
Para achar
isto é, o sistema
Da primeira equação vem (x = u/2]. Substituindo na segunda:
Na terceira,
Logo,
Passo 4
Para T^2=Tcirc T, seja (x,y,z)mapsto (u,v,w)=T(x,y,z). Então
T^2(x,y,z) = T(u,v,w) =l(2u,;4u - v,;2u +3v - wr)
Como u=2x,;v=4x-y,;w=2x+3y-z, substituindo:
2u = 4x, 4u - v = 8x - (4x - y) = 4x + y,
2u +3v - w =4x +3(4x - y) - l(2x+3y -zr) =4x +12x -3y -2x -3y + z =14x -6y + z
Portanto
T^2(x,y,z) = l(4x,;4x + y,;14x - 6y + zr)
Passo 5
Para T^-2=(T^-1)^2=T^-1circ T^-1, aplicamos a fórmula de T^-1 duas vezes. Primeiro