Seja o operador linear T em R^3 definido por T(x, y, z)=(2 x, 4 x-y, 2 x+3 y-z).
a) Mostre que T é inverível
b) Estabeleça fórmulas para: T^-1 ; T^2 ; T^-2.

Passo 1

O enunciado define o operador linear Tcolon R^3toR^3 por
T(x,y,z) = (2x,;4x - y,;2x + 3y - z)
Pede-se (a) mostrar que T é inversível e (b) encontrar fórmulas para T^-1, T^2 e T^-2.
Para isso vamos passar ao representa-ção matricial de T, calcular seu determinante para ver invertibilidade e depois obter as composições e a inversa resolvendo sistemas.

Passo 2

Em base canônica, a matriz de é
pois
O determinante de é
Como , é inversível.

Passo 3

Para achar
isto é, o sistema
Da primeira equação vem (x = u/2]. Substituindo na segunda:

Na terceira,

Logo,

Passo 4

Para T^2=Tcirc T, seja (x,y,z)mapsto (u,v,w)=T(x,y,z). Então
T^2(x,y,z) = T(u,v,w) =l(2u,;4u - v,;2u +3v - wr)
Como u=2x,;v=4x-y,;w=2x+3y-z, substituindo:
2u = 4x, 4u - v = 8x - (4x - y) = 4x + y,
2u +3v - w =4x +3(4x - y) - l(2x+3y -zr) =4x +12x -3y -2x -3y + z =14x -6y + z
Portanto
T^2(x,y,z) = l(4x,;4x + y,;14x - 6y + zr)

Passo 5

Para T^-2=(T^-1)^2=T^-1circ T^-1, aplicamos a fórmula de T^-1 duas vezes. Primeiro
T^-1(x,y,z) = l(x/2,;2x - y,;7x -3y - zr)
Chamando isso de (u,v,w), aplicamos T^-1 de novo:
u = x/2, v = 2x - y, w = 7x -3y - z
Então
T^-2(x,y,z) = T^-1(u,v,w) =l(u/2,;2u - v,;7u -3v - wr)
Substituindo u,v,w:
u/2 = x/4, 2u - v = x - (2x - y) = -x + y,
7u -3v - w =7l(x/2r) -3(2x-y) - (7x -3y - z) =tfrac72x -6x +3y -7x +3y + z =-tfrac192x +6y + z
Logo
T^-2(x,y,z) =l(x/4,;-x + y,;-tfrac192x +6y + zr)

Resposta

T é inversível porque det(A)=2neq0.
T^-1(u,v,w)=l(u/2,;2u-v,;7u-3v-wr) T^2(x,y,z)=l(4x,;4x+y,;14x-6y+zr) T^-2(x,y,z)=l(x/4,;-x+y,;-tfrac192x+6y+zr)

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