Seja linear. Considere e bases do e do respectivamente e a matriz , onde v1=[c-1 1 0] ; v2=[l0 1 1] ; v3=[l1 0 0] ew1=[l1 2], w2=[c1 -1].
a) Calcule [L(v1)]beta ;[L(v2)]beta ;[L(v3)]beta
b) Calcule L(v1) ; L(v2) ; L(v3)
c) Calcule L([c2 1 -1])
d) Calcule L([la b c])
Passo 1
O enunciado define uma aplicação linear Lcolon R^3toR^2 cujas bases são alpha=v1,v2,v3 em R^3 e beta=w1,w2 em R^2.
A matriz de L relativa a essas bases é
A=1&2&1-1&1&0,
o que significa que a i-ésima coluna de A é l[L(vi)r]beta.
Passo 2
Como dito, as colunas de A são exatamente os vetores coordenados de L(vi) em beta. Logo,
l[L(v1)r]beta =1-1,
l[L(v2)r]beta =21,
l[L(v3)r]beta =10
Passo 3
Para obter L(vi) em coordenadas canônicas de R^2, escrevemos
L(vi)=xi,w1+yi,w2
onde l[xi,yil]^T=l[L(vi)r]beta. Assim,
L(v1)=1cdot w1+(-1)cdot w2 =12-1-1 =03,
L(v2)=2cdot w1+1cdot w2 =212+1-1 =33,
L(v3)=1cdot w1+0cdot w2 =12
Passo 4
Para
Isto dá o sistema
cuja solução é (u_2=-1,;u_1=2,;u_3=4].
Logo
e em coordenadas canônicas
Passo 5
Para , resolvemos
e obtemos
Então
e em coordenadas canônicas
Resposta
a) l[L(v1)r]beta=(1,-1)^T,;l[L(v2)r]beta=(2,1)^T,;l[L(v3)r]beta=(1,0)^T.
b) L(v1)=(0,3)^T,;L(v2)=(3,3)^T,;L(v3)=(1,2)^T.
c) Ll((2,1,-1)^Tr)=(1,11)^T.
d) Ll((a,b,c)^Tr)=(,a+b+2c,,,2a+5b-2c,)^T.