Seja
de uma amostra aleatória de tamanho
da distribuição de uma variável aleatória
. Considere os estimadores
. e
. Onde
.
Encontre e compare os EQM dos dois estimadores.
Obs.: A densidade de
é dada por
;
Encontre e compare os EQM dos dois estimadores.
Obs.: A densidade de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente comparar dois estimadores da variável θ, que está na distribuição uniforme U(0, θ). Temos uma amostra aleatória de tamanho n, e os estimadores são:
-
, onde é a média da amostra. -
, onde é o maior valor da amostra.
Precisamos encontrar e comparar o Erro Quadrático Médio (EQM) desses dois estimadores. Para isso, vamos usar conceitos de teoria de estimadores como viés e variância, e também a fórmula do EQM que é a soma do quadrado do viés mais a variância.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Erro Quadrático Médio (EQM). O EQM de um estimador
é dado por:
Onde:
Vamos calcular o EQM para cada estimador separadamente.
Passo 3
Vamos começar com
.
Primeiro, precisamos encontrar o valor de
que faz o estimador ser não viesado, ou seja,
.
Sabemos que para X ~ U(0, θ), a média
. Então, a média da amostra
também é
.
Então:
Agora,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o viés de
:
Então, o viés é zero.
Agora, a variância de
:
Sabemos que a variância da média para X ~ U(0, θ) é:
Sabemos que a variância da média
Então:
Portanto, o EQM de
é:
Passo 5
Agora, vamos para
, onde
.
Primeiro, precisamos encontrar o valor de
para que
seja não viesado. Isso significa que:
Para encontrar
, usamos a densidade de
:
Então:
Então, para
ser não viesado:
Logo,
.
Passo 6
Agora, vamos calcular o viés de
:
Então, o viés também é zero.
Agora, a variância de
:
Primeiro, precisamos encontrar .
Primeiro, precisamos encontrar
Usando a densidade de
, calculamos
:
Então:
Simplificando:
Agora, a variância de
:
Portanto, o EQM de
é:
Passo 7
Agora que temos os EQMs dos dois estimadores:
Para comparar, vamos analisar qual é menor. Simplificando:
Multiplicando ambos por
para comparar:
Como
para
, concluímos que:
Portanto,
.
Resposta
O estimador
possui um Erro Quadrático Médio menor que
, ou seja,
.