Seja (X1, ldots, Xn) de uma amostra aleatória de tamanho n da distribuição de uma variável aleatória X sim U(0, theta). Considere os estimadores widehattheta1=c1 barX. e widehattheta2=c2 M. Onde M=max (X1, ldots, Xn).
Encontre e compare os EQM dos dois estimadores.
Obs.: A densidade de M é dada por g(x)=n[F(x)]^n-1 f(x);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente comparar dois estimadores da variável θ, que está na distribuição uniforme U(0, θ). Temos uma amostra aleatória de tamanho n, e os estimadores são:
  • widehattheta1 = c1 barX, onde barX é a média da amostra.
  • widehattheta2 = c2 M, onde M é o maior valor da amostra.
Precisamos encontrar e comparar o Erro Quadrático Médio (EQM) desses dois estimadores. Para isso, vamos usar conceitos de teoria de estimadores como viés e variância, e também a fórmula do EQM que é a soma do quadrado do viés mais a variância.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Erro Quadrático Médio (EQM). O EQM de um estimador widehattheta é dado por:
EQM(widehattheta) = E[(widehattheta - theta)^2] = Viés^2 + Variância éâ
Onde:
  • Viés = E[widehattheta] - thetaé
  • Variância = Var(widehattheta)â
Vamos calcular o EQM para cada estimador separadamente.

Passo 3

Vamos começar com widehattheta1 = c1 barX.
Primeiro, precisamos encontrar o valor de c1 que faz o estimador ser não viesado, ou seja, E[widehattheta1] = theta.
Sabemos que para X ~ U(0, θ), a média E[X] = theta2. Então, a média da amostra barX também é theta2.
Então:
E[widehattheta1] = c1 E[barX] = c1 cdot theta2 = theta Rightarrow c1 = 2
Agora, widehattheta1 = 2 barX.

Passo 4

Agora, vamos calcular o viés de widehattheta1:
Viés = E[widehattheta1] - theta = theta - theta = 0 é
Então, o viés é zero.
Agora, a variância de widehattheta1:
Sabemos que a variância da média barX para X ~ U(0, θ) é:
Var(barX) = Var(X)n = theta^212n = theta^212n
Então:
Var(widehattheta1) = c1^2 Var(barX) = 4 cdot theta^212n = theta^23n
Portanto, o EQM de widehattheta1 é:
EQM(widehattheta1) = 0 + theta^23n = theta^23n

Passo 5

Agora, vamos para widehattheta2 = c2 M, onde M = max(X1, ldots, Xn).
Primeiro, precisamos encontrar o valor de c2 para que widehattheta2 seja não viesado. Isso significa que:
E[widehattheta2] = theta Rightarrow c2 E[M] = theta
Para encontrar E[M], usamos a densidade de M:
g(x) = n (xtheta)^n-1 cdot 1theta = n x^n-1theta^n, 0 <= x <= theta
Então:
E[M] = integral0^theta x g(x) dx = integral0^theta x cdot n x^n-1theta^n dx = ntheta^n integral0^theta x^n dx = ntheta^n cdot theta^n+1n+1 = n thetan+1
Então, para widehattheta2 ser não viesado:
c2 cdot n thetan+1 = theta Rightarrow c2 = n+1n
Logo, widehattheta2 = n+1n M.

Passo 6

Agora, vamos calcular o viés de widehattheta2:
Viés = E[widehattheta2] - theta = theta - theta = 0 é
Então, o viés também é zero.
Agora, a variância de widehattheta2:
Primeiro, precisamos encontrar Var(M).
Usando a densidade de M, calculamos E[M^2]:
E[M^2] = integral0^theta x^2 g(x) dx = integral0^theta x^2 cdot n x^n-1theta^n dx = ntheta^n integral0^theta x^n+1 dx = ntheta^n cdot theta^n+2n+2 = n theta^2n+2
Então:
Var(M) = E[M^2] - (E[M])^2 = n theta^2n+2 - (n thetan+1)^2 = n theta^2n+2 - n^2 theta^2(n+1)^2 = theta^2 ( nn+2 - n^2(n+1)^2 )
Simplificando:
Var(M) = theta^2 ( n(n+1)^2 - n^2(n+2)(n+2)(n+1)^2 ) = theta^2 ( n(n^2 + 2n +1 - n^2 - 2n)(n+2)(n+1)^2 ) = theta^2 ( n(n+2)(n+1)^2 )
Agora, a variância de widehattheta2:
Var(widehattheta2) = c2^2 Var(M) = (n+1n)^2 cdot theta^2 cdot n(n+2)(n+1)^2 = (n+1)^2n^2 cdot n theta^2(n+2)(n+1)^2) = theta^2n(n+2)
Portanto, o EQM de widehattheta2 é:
EQM(widehattheta2) = 0 + theta^2n(n+2) = theta^2n(n+2)

Passo 7

Agora que temos os EQMs dos dois estimadores:
EQM(widehattheta1) = theta^23n
EQM(widehattheta2) = theta^2n(n+2)
Para comparar, vamos analisar qual é menor. Simplificando:
13n vs 1n(n+2)
Multiplicando ambos por n(n+2) para comparar:
n+23 vs 1
Como n+2 > 3 para n > 1, concluímos que:
1n(n+2) < 13n
Portanto, EQM(widehattheta2) < EQM(widehattheta1).

Resposta

O estimador widehattheta2 = n+1n M possui um Erro Quadrático Médio menor que widehattheta1 = 2 barX, ou seja, EQM(widehattheta2) < EQM(widehattheta1).

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