Sejam
uma amostra aleatória da variável aleatória
tem distribuição de Bernoulli:
.
Mostre que
NÃO é suficiente para
.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a estatística $ T = 2X_{1} + X_{2} $ não é suficiente para o parâmetro $ \theta $ em uma distribuição de Bernoulli. Vamos usar conceitos de estatística, especificamente sobre estatísticas suficientes, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma estatística suficiente. Em estatística, uma estatística $ T(X) $ é suficiente para um parâmetro $ \theta $ se toda a informação necessária para estimar $ \theta $ estiver contida em $ T(X) $. Ou seja, sabendo apenas $ T(X) $, não precisamos saber mais nada sobre os dados para estimar $ \theta $.
Para verificar se $ T = 2X_{1} + X_{2} $ é suficiente, podemos usar o Teorema da Fatoração. Esse teorema diz que $ T(X) $ é uma estatística suficiente para $ \theta $ se a função de verossimilhança puder ser escrita como:
Onde:
- $ g(T(x)|\theta) $ depende apenas de $ T(x) $ e $ \theta $.
- $ h(x) $ depende apenas dos dados $ x $, não de $ \theta $.
Passo 3
Vamos começar escrevendo a função de verossimilhança para a amostra $ (X_{1}, X_{2}) $. Como as variáveis são independentes e seguem uma distribuição de Bernoulli, a função conjunta é:
Isso simplifica para:
Agora, vemos que a função depende apenas da soma $ x_{1} + x_{2} $, que é a estatística suficiente conhecida para a distribuição binomial (que é o caso da Bernoulli com múltiplas amostras).
Passo 4
Agora, vamos comparar com a estatística $ T = 2X_{1} + X_{2} $. Se tentarmos reescrever a função de verossimilhança em termos de $ T $, vemos que:
Isso significa que $ T $ pode assumir valores 0, 1, 2 ou 3:
- $ T = 0 $ se $ X_{1} = 0 $ e $ X_{2} = 0 $
- $ T = 1 $ se $ X_{1} = 0 $ e $ X_{2} = 1 $
- $ T = 2 $ se $ X_{1} = 1 $ e $ X_{2} = 0 $
- $ T = 3 $ se $ X_{1} = 1 $ e $ X_{2} = 1 $
No entanto, a soma $ X_{1} + X_{2} $ só pode ser 0, 1 ou 2. Isso já mostra que diferentes combinações de $ X_{1} $ e $ X_{2} $ podem levar ao mesmo valor de $ X_{1} + X_{2} $, mas não ao mesmo valor de $ T $. Isso indica que $ T $ não captura toda a informação que a soma $ X_{1} + X_{2} $ captura.
Passo 5
Voltando ao Teorema da Fatoração, percebemos que a função de verossimilhança realmente pode ser fatorada em termos da soma $ X_{1} + X_{2} $, mas não em termos de $ T = 2X_{1} + X_{2} $. Isso acontece porque $ T $ mistura os coeficientes das variáveis, não permitindo uma separação clara entre a parte que depende de $ \theta $ e a que não depende.
Portanto, como não conseguimos escrever a função de verossimilhança apenas em termos de $ T $ e $ \theta $, concluímos que $ T $ não é uma estatística suficiente para $ \theta $.
Resposta
A estatística $ T = 2X_{1} + X_{2} $ não é suficiente para o parâmetro $ \theta $ na distribuição de Bernoulli.