Seja
(a) Mostre que
é subespaço de
( o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2.)
(b) Encontre uma base e a dimensão de
.
(a) Mostre que
(b) Encontre uma base e a dimensão de
Passo 1
O enunciado define
como subconjunto de
.
Precisamos (a) mostrar que é subespaço vetorial de
e (b) encontrar uma base e a dimensão de
.
Precisamos (a) mostrar que
Passo 2
Para provar que
é subespaço, verificamos três propriedades:
-
O polinômio nulo
satisfaz
,
logo, ou seja, . -
Sejam
. Então Logoou seja,. -
Para
e temos logo.
Essas três condições mostram que
é subespaço de
.
Passo 3
Para caracterizar os coeficientes de
, use
e imponha
. Isso dá
Logo todo
é da forma
com
.
Passo 4
Como cada polinômio em
depende linearmente apenas de
e
, fica claro que
gera
. Além disso,
e
são linearmente independentes em
.
Portanto uma base de
é
e a dimensão é
Resposta
(a)
é subespaço vetorial de
.
(b) Uma base de é
e
.
(b) Uma base de