Seja E=\left\{p(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} / p(-1)=p(1)\right\}
(a) Mostre que E é subespaço de \mathcal{P}_{2} ( o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2.)
(b) Encontre uma base e a dimensão de E.

Passo 1

O enunciado define
E = \{\,p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\mid p(-1)=p(1)\}
como subconjunto de \mathcal{P}_{2}.
Precisamos (a) mostrar que E é subespaço vetorial de \mathcal{P}_{2} e (b) encontrar uma base e a dimensão de E.

Passo 2

Para provar que E é subespaço, verificamos três propriedades:
  1. O polinômio nulo 0(x)=0 satisfaz
    \,0(-1)=0=0(1),
    logo 0(x)\in E, ou seja, E\neq\emptyset.
  2. Sejam p,q\in E. Então
    p(-1)=p(1) \quad\text{e}\quad q(-1)=q(1).
    Logo
    (p+q)(-1)=p(-1)+q(-1)=p(1)+q(1)=(p+q)(1),
    ou seja, p+q\in E.
  3. Para \alpha\in\mathbb{R} e p\in E temos
    (\alpha p)(-1)=\alpha\,p(-1)=\alpha\,p(1)=(\alpha p)(1),
    logo \alpha p\in E.
Essas três condições mostram que E é subespaço de \mathcal{P}_{2}.

Passo 3

Para caracterizar os coeficientes de p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}, use
p(-1)=a_{0}-a_{1}+a_{2}, \quad p(1)=a_{0}+a_{1}+a_{2},
e imponha p(-1)=p(1). Isso dá
a_{0}-a_{1}+a_{2}=a_{0}+a_{1}+a_{2} \quad\Longrightarrow\quad -\,a_{1}=a_{1} \quad\Longrightarrow\quad a_{1}=0.
Logo todo p\in E é da forma
p(x)=a_{0}+a_{2}x^{2},
com a_{0},a_{2}\in\mathbb{R}.

Passo 4

Como cada polinômio em E depende linearmente apenas de a_{0} e a_{2}, fica claro que
\{\,1,\,x^{2}\} gera E. Além disso, 1 e x^{2} são linearmente independentes em \mathcal{P}_{2}.
Portanto uma base de E é
\{\,1,\,x^{2}\},
e a dimensão é
\dim(E)=2.

Resposta

(a) E é subespaço vetorial de \mathcal{P}_{2}.
(b) Uma base de E é \{1,x^{2}\} e \dim(E)=2.

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