Verifique que as funções abaixo são integraveis e calcule a sua integral:
f(x)=x^{3}+2 \quad em \quad[0 ; 1]

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^3+2 num intervalo fechado [0,1] e pede duas coisas: (i) verificar que f é integrável em [0,1] e (ii) calcular
\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x.
O conteúdo envolvido é o Teorema de integrabilidade de funções contínuas e o Cálculo de integrais definidas via antiderivada.

Passo 2

Como f(x)=x^3+2 é um polinômio, ela é contínua em todo \mathbb{R} e, em particular, em [0,1]. Pelo Teorema que diz que toda função contínua num intervalo fechado é integrável (no sentido de Riemann), concluímos que
f\text{ é integrável em }[0,1].éá

Passo 3

Para calcular a integral, obtemos uma primitiva (antiderivada) de f. Como
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Bigl(\tfrac{1}{4}x^4 + 2x\Bigr) = x^3 + 2,
uma escolha conveniente é
F(x)=\frac{1}{4}x^4 + 2x.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x = F(1)-F(0) = \Bigl(\tfrac{1}{4}\cdot1^4 + 2\cdot1\Bigr) - \Bigl(\tfrac{1}{4}\cdot0^4 + 2\cdot0\Bigr) = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4}.

Resposta

\int_{0}^{1}(x^3+2)\,\mathrm{d}x = \frac{9}{4}.

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