Verifique se o conjunto W , formado pelas matrizes da forma
\left(\begin{array}{llll} a & b & c & d \\\ b & a & d & c \\\ c & d & a & b \\\ d & c & b & a \end{array}\right)
é um subespaço vetorial de M_{4 \times 4}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado dá o conjunto W formado por todas as matrizes 4\times4 reais da forma
\begin{pmatrix} a & b & c & d \\\ b & a & d & c \\\ c & d & a & b \\\ d & c & b & a \end{pmatrix}
em que a,b,c,d\in\mathbb{R}. A pergunta é: verificar se W é um subespaço vetorial de M_{4\times4}(\mathbb{R}).

Passo 2

Vou lembrar o que precisa ser verificado (a definição prática de subespaço):
  • W não pode estar vazio (equivalente: deve conter a matriz zero).
  • W deve ser fechado em relação à adição: se X\in W e Y\in W então X+Y\in W.
  • W deve ser fechado em relação à multiplicação por escalar: se X\in W e t\in\mathbb{R} então tX\in W.
Se essas três propriedades forem verdadeiras, então W é subespaço. Vou provar cada uma, passo a passo, mostrando também como pensar nisso na prova da faculdade.

Passo 3

Verificar que W não é vazio (contém a matriz zero).
Pegando a=b=c=d=0 obtemos a matriz
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
que é a matriz zero de M_{4\times4}(\mathbb{R}). Logo 0\in W. Isso garante que W não é vazio (e é um passo simples e obrigatório numa prova).

Passo 4

Verificar fechamento por adição.
Sejam duas matrizes quaisquer de W,
X=\begin{pmatrix} a & b & c & d \\\ b & a & d & c \\\ c & d & a & b \\\ d & c & b & a \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad Y=\begin{pmatrix} a' & b' & c' & d' \\\ b' & a' & d' & c' \\\ c' & d' & a' & b' \\\ d' & c' & b' & a' \end{pmatrix},
com a,b,c,d,a',b',c',d'\in\mathbb{R}.
Somando termo a termo:
X+Y= \begin{pmatrix} a+a' & b+b' & c+c' & d+d' \\\ b+b' & a+a' & d+d' & c+c' \\\ c+c' & d+d' & a+a' & b+b' \\\ d+d' & c+c' & b+b' & a+a' \end{pmatrix}.
Observe que X+Y tem exatamente a mesma estrutura do enunciado, com os novos parâmetros a+a',\,b+b',\,c+c',\,d+d'\in\mathbb{R}. Portanto X+Y\in W. Assim o conjunto é fechado sob adição.
(Dica prática para prova: sempre escreva a soma elemento a elemento e reconheça a mesma “máscara” / padrão de entradas.)

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação por escalar.
Seja t\in\mathbb{R} e X\in W como acima. Então
tX= t\begin{pmatrix} a & b & c & d \\\ b & a & d & c \\\ c & d & a & b \\\ d & c & b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ta & tb & tc & td \\\ tb & ta & td & tc \\\ tc & td & ta & tb \\\ td & tc & tb & ta \end{pmatrix}.
Novamente essa matriz tem a mesma estrutura, com parâmetros ta,tb,tc,td\in\mathbb{R}. Assim tX\in W. Portanto W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Conclusão direta das verificações.
Como 0\in W, W é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, então W satisfaz os critérios de subespaço vetorial de M_{4\times4}(\mathbb{R}). Logo W é subespaço.

Passo 7

Uma observação extra (útil para provas e entendimento): W pode ser descrito como o espaço gerado por quatro matrizes canônicas (mostrando que seu grau de liberdade é 4). Defina
E_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad E_2=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},
E_3=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad E_4=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Qualquer elemento de W é aE_1+bE_2+cE_3+dE_4. Esses quatro vetores são linearmente independentes (se x_1E_1+x_2E_2+x_3E_3+x_4E_4=0, comparando entradas obtém-se x_1=x_2=x_3=x_4=0), então formam uma base de W. Assim \dim W=4. Isso não era pedido, mas ajuda a entender a estrutura de W.

Resposta

Sim. W é subespaço vetorial de M_{4\times4}(\mathbb{R}).

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