Seja E=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) uma base orotonormal. Calcule \|\vec{u}\|, onde: \vec{u}=(3,2,1)_{E}
Passo 1
O que o problema pede: calcular a norma de \vec{u}, ou seja \|\vec{u}\|.
Informações dadas importantes:
E=(\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}) é uma base ortonormal (ou seja, os vetores da base são mutuamente ortogonais e têm norma 1).
As coordenadas de \vec{u} nessa base são (3,2,1)_{E}.
Não vou resolver nada ainda — só anotei o pedido e os dados.
Passo 2
Escrever \vec{u} em função dos vetores da base: as coordenadas (3,2,1)_{E} significam que
ou seja, \langle \overrightarrow{e_{i}},\overrightarrow{e_{j}}\rangle=\delta_{ij}\]. Isso simplifica muito as contas: ao calcular \(\langle\vec{u},\vec{u}\rangle aparecem só quadrados das coordenadas, pois os termos mistos sumem.]
Passo 4
Calcular \langle\vec{u},\vec{u}\rangle usando a expansão de \vec{u}:
Distribuindo e usando \langle\overrightarrow{e_{i}},\overrightarrow{e_{j}}\rangle=\delta_{ij}, todos os termos cruzados (como 3\cdot2\langle\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}}\rangle) são zero. Restam apenas os quadrados: