Seja E=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) uma base orotonormal. Calcule \|\vec{u}\|, onde:
\vec{u}=(3,2,1)_{E}

Passo 1

O que o problema pede: calcular a norma de \vec{u}, ou seja \|\vec{u}\|.
Informações dadas importantes:
  • E=(\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}) é uma base ortonormal (ou seja, os vetores da base são mutuamente ortogonais e têm norma 1).
  • As coordenadas de \vec{u} nessa base são (3,2,1)_{E}.
    Não vou resolver nada ainda — só anotei o pedido e os dados.

Passo 2

Escrever \vec{u} em função dos vetores da base: as coordenadas (3,2,1)_{E} significam que
\vec{u}=3\overrightarrow{e_{1}}+2\overrightarrow{e_{2}}+1\overrightarrow{e_{3}}.
Explicação curta: a coordenada 3 é o escalar que multiplica \overrightarrow{e_{1}}, e assim por diante.

Passo 3

Recordando a definição de norma através do produto interno: a norma de um vetor \vec{u}\) é \[\|\vec{u}\|=\sqrt{\langle \vec{u},\vec{u}\rangle},
onde \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno (no caso euclidiano, o produto escalar). Em uma base ortonormal vale a propriedade fundamental
\langle \overrightarrow{e_{i}},\overrightarrow{e_{j}}\rangle= \begin{cases} 1 & \text{se } i=j,\\[4pt] 0 & \text{se } i\neq j, \end{cases}
ou seja, \langle \overrightarrow{e_{i}},\overrightarrow{e_{j}}\rangle=\delta_{ij}\]. Isso simplifica muito as contas: ao calcular \(\langle\vec{u},\vec{u}\rangle aparecem só quadrados das coordenadas, pois os termos mistos sumem.]

Passo 4

Calcular \langle\vec{u},\vec{u}\rangle usando a expansão de \vec{u}:
\langle\vec{u},\vec{u}\rangle =\langle 3\overrightarrow{e_{1}}+2\overrightarrow{e_{2}}+1\overrightarrow{e_{3}},\;3\overrightarrow{e_{1}}+2\overrightarrow{e_{2}}+1\overrightarrow{e_{3}}\rangle.
Distribuindo e usando \langle\overrightarrow{e_{i}},\overrightarrow{e_{j}}\rangle=\delta_{ij}, todos os termos cruzados (como 3\cdot2\langle\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}}\rangle) são zero. Restam apenas os quadrados:
\langle\vec{u},\vec{u}\rangle = 3^{2}\langle\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{1}}\rangle + 2^{2}\langle\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{2}}\rangle + 1^{2}\langle\overrightarrow{e_{3}},\overrightarrow{e_{3}}\rangle.
Como cada \langle\overrightarrow{e_{i}},\overrightarrow{e_{i}}\rangle=1, obtém-se
\langle\vec{u},\vec{u}\rangle = 3^{2}+2^{2}+1^{2}=9+4+1=14.

Passo 5

Agora tiramos a raiz quadrada para obter a norma:
\|\vec{u}\|=\sqrt{\langle\vec{u},\vec{u}\rangle}=\sqrt{14}.
Se quiser uma aproximação numérica rápida, \sqrt{14}\approx3,741, mas a forma exata \sqrt{14} é a resposta bonita.

Resposta

\sqrt{14}

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