Verifique se são L.D ou L.I cada sequência (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) de vetores abaixo.
\vec{u}=(3,-1,-5), \vec{v}=(4,2,5), \vec{w}=(1,1,1)

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se a sequência (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é linearmente dependente (L.D.) ou linearmente independente (L.I.).\n
Informações dadas:
\vec{u}=(3,-1,-5),\qquad \vec{v}=(4,2,5),\qquad \vec{w}=(1,1,1).

Passo 2

Definição (explicada de forma clara): dizemos que (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é linearmente independente se a única solução do sistema
\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0}
é \alpha=\beta=\gamma=0. Se existir uma solução com algum coeficiente não nulo, então são linearmente dependentes. Aqui \alpha,\beta,\gamma são escalares reais desconhecidos.

Passo 3

Escolha do método: um jeito rápido é montar a matriz cujas colunas são \vec{u},\vec{v},\vec{w} e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e a única solução do sistema homogêneo é a trivial, logo os vetores são L.I. Vou usar esse método porque é direto e dá resposta imediata.

Passo 4

Montamos a matriz A com as colunas sendo \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
A=\begin{pmatrix} 3 & 4 & 1\\[4pt] -1 & 2 & 1\\[4pt] -5 & 5 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calculamos o determinante de A usando a regra de Laplace pela primeira linha (fórmula padrão para determinante de 3\times3):
\det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
Aqui a_{11}=3,\;a_{12}=4,\;a_{13}=1,\;a_{21}=-1,\;a_{22}=2,\;a_{23}=1,\;a_{31}=-5,\;a_{32}=5,\;a_{33}=1. Agora substituímos e calculamos termo a termo:
\begin{aligned} \text{primeiro termo} &=3\cdot(2\cdot1-1\cdot5)=3\cdot(2-5)=3\cdot(-3)=-9,\\[4pt] \text{segundo termo} &=-4\cdot((-1)\cdot1-1\cdot(-5))=-4\cdot(-1+5)=-4\cdot4=-16,\\[4pt] \text{terceiro termo} &=1\cdot((-1)\cdot5-2\cdot(-5))=1\cdot(-5+10)=5. \end{aligned}
Somando:
\det(A)=-9-16+5=-20.]

Passo 6

Interpretação do resultado: como \det(A)=-20\neq0, a matriz A é invertível. Isso significa que o sistema homogêneo
\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0}
tem única solução \alpha=\beta=\gamma=0. Portanto os vetores são linearmente independentes.

Passo 7

(Verificação por eliminação Gaussiana, para reforçar a ideia — passo a passo)
Escrevemos o sistema de equações correspondentes:
\begin{cases} 3\alpha+4\beta+\gamma=0,\\[4pt] -1\alpha+2\beta+\gamma=0,\\[4pt] -5\alpha+5\beta+\gamma=0. \end{cases}
Matriz aumentada inicial:
\left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 4 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 2 & 1 & 0\\[4pt] -5 & 5 & 1 & 0 \end{array}\right).
Fazendo operações inteiras para ficar mais claro:
\begin{aligned} &\text{(1) }R_2\leftarrow -R_2\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}3&4&1&0\\[2pt]1&-2&-1&0\\[2pt]-5&5&1&0\end{array}\right),\\[4pt] &\text{(2) trocar }R_1\text{ e }R_2\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}1&-2&-1&0\\[2pt]3&4&1&0\\[2pt]-5&5&1&0\end{array}\right),\\[4pt] &\text{(3) }R_2\leftarrow R_2-3R_1,\; R_3\leftarrow R_3+5R_1\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}1&-2&-1&0\\[2pt]0&10&4&0\\[2pt]0&-5&-4&0\end{array}\right),\\[4pt] &\text{(4) }R_3\leftarrow R_3+\tfrac{1}{2}R_2\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}1&-2&-1&0\\[2pt]0&10&4&0\\[2pt]0&0&-2&0\end{array}\right). \end{aligned}
Da última linha temos -2\gamma=0\Rightarrow \gamma=0. Subindo:
10\beta+4\gamma=0\Rightarrow 10\beta=0\Rightarrow \beta=0,
e então
\alpha-2\beta-\gamma=0\Rightarrow \alpha=0.
Logo \alpha=\beta=\gamma=0, confirmação da independência linear.]

Passo 8

Conclusão final: os vetores fornecidos são linearmente independentes.

Resposta

(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) são linearmente independentes.

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