Verifique se são L.D ou L.I cada sequência (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) de vetores abaixo. \vec{u}=(3,-1,-5), \vec{v}=(4,2,5), \vec{w}=(1,1,1)
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se a sequência (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é linearmente dependente (L.D.) ou linearmente independente (L.I.).\n
Informações dadas:
Definição (explicada de forma clara): dizemos que (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é linearmente independente se a única solução do sistema
\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}=\vec{0}
é \alpha=\beta=\gamma=0. Se existir uma solução com algum coeficiente não nulo, então são linearmente dependentes. Aqui \alpha,\beta,\gamma são escalares reais desconhecidos.
Passo 3
Escolha do método: um jeito rápido é montar a matriz cujas colunas são \vec{u},\vec{v},\vec{w} e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e a única solução do sistema homogêneo é a trivial, logo os vetores são L.I. Vou usar esse método porque é direto e dá resposta imediata.
Passo 4
Montamos a matriz A com as colunas sendo \vec{u},\vec{v},\vec{w}:
Aqui a_{11}=3,\;a_{12}=4,\;a_{13}=1,\;a_{21}=-1,\;a_{22}=2,\;a_{23}=1,\;a_{31}=-5,\;a_{32}=5,\;a_{33}=1. Agora substituímos e calculamos termo a termo: