Seja \left(a_{n}\right) uma sequência numérica satisfazendo
\left|a_{n}-\left(\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{n^{5}+1}{3 n^{5}+5 n+1}\right)\right|<e^{-\frac{n^{3}-1}{n^{2}+2 n-1}}
para todo n \geq 1. Escolha uma das seguintes alternativas para a sequência ( a_{n} ).
(a) \left(a_{n}\right) diverge.
(b) \left(a_{n}\right) converge para \frac{1}{3}.
(c) \left(a_{n}\right) diverge para +\infty.
(d) Não se pode afirmar nada sobre a convergência ou divergência da sequência \left(a_{n}\right).
(e) \left(a_{n}\right) converge para 0 .

Passo 1

O enunciado dá que a sequência \left(a_{n}\right) satisfaz, para todo n\ge 1,
\left|a_{n}-\left(\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{n^{5}+1}{3 n^{5}+5 n+1}\right)\right|<e^{-\frac{n^{3}-1}{n^{2}+2 n-1}}.
As perguntas possíveis são escolher entre as alternativas:
(a) \left(a_{n}\right) diverge.
(b) \left(a_{n}\right) converge para \frac{1}{3}.
(c) \left(a_{n}\right) diverge para +\infty.
(d) Não se pode afirmar nada sobre a convergência ou divergência da sequência \left(a_{n}\right).
(e) \left(a_{n}\right) converge para 0.
Informações relevantes fornecidas:
  • a_{n} está a uma distância menor que e^{-\frac{n^{3}-1}{n^{2}+2 n-1}} de b_{n}:=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{n^{5}+1}{3 n^{5}+5 n+1}.
  • Precisamos decidir qual das alternativas (a)–(e) é verdadeira para \left(a_{n}\right).

Passo 2

Vou estudar primeiro o termo de erro
\varepsilon_{n}:=e^{-\frac{n^{3}-1}{n^{2}+2 n-1}}.
Mostro que \varepsilon_{n}\to 0 quando n\to\infty. Observe
\frac{n^{3}-1}{n^{2}+2 n-1}=\frac{n-\frac{1}{n^{2}}}{1+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^{2}}}.
Aqui eu dividi numerador e denominador por n^{2}. Quando n\to\infty temos \frac{1}{n}\to 0, \frac{1}{n^{2}}\to 0, então o quociente acima tende a +\infty porque o numerador tende a +\infty (é aproximadamente n) e o denominador tende a 1. Logo
\frac{n^{3}-1}{n^{2}+2 n-1}\xrightarrow[n\to\infty]{}+\infty.
Portanto o expoente -\frac{n^{3}-1}{n^{2}+2 n-1} tende a -\infty, e
\varepsilon_{n}=e^{-\frac{n^{3}-1}{n^{2}+2 n-1}}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.
Interpretando: o erro com que a_{n} aproxima b_{n} é exponencialmente pequeno e vai para zero.

Passo 3

Agora analiso a sequência
b_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{n^{5}+1}{3 n^{5}+5 n+1}.
Estudo separadamente os dois termos.
  1. Primeiro termo: \displaystyle \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}.
    • Em valor absoluto \displaystyle \left|\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}\right|=\frac{1}{\sqrt{n}}.
    • Como \frac{1}{\sqrt{n}}\xrightarrow[n\to\infty]{}0, pelo critério do valor absoluto esse termo tende a 0.
  2. Segundo termo: \displaystyle \frac{n^{5}+1}{3 n^{5}+5 n+1}.
    • Divido numerador e denominador por n^{5}: \frac{n^{5}+1}{3 n^{5}+5 n+1}=\frac{1+\frac{1}{n^{5}}}{3+\frac{5}{n^{4}}+\frac{1}{n^{5}}}.
    • À medida que n\to\infty temos \frac{1}{n^{5}}\to 0 e \frac{5}{n^{4}}\to 0, então a fração tende a \frac{1}{3}: \frac{n^{5}+1}{3 n^{5}+5 n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{1}{3}.
Pelo teorema da soma de limites (se as duas sequências têm limite, a soma tem limite igual à soma dos limites), obtemos
b_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{n^{5}+1}{3 n^{5}+5 n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}0+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.

Passo 4

Agora uso o fato dado pelo enunciado e uma desigualdade triangular para ligar a_{n} e b_{n}. Pelo enunciado,
|a_{n}-b_{n}|<\varepsilon_{n},
com \varepsilon_{n}\to 0. Quero mostrar que a_{n}\to \frac{1}{3}. Calculo
\left|a_{n}-\frac{1}{3}\right|\le \left|a_{n}-b_{n}\right|+\left|b_{n}-\frac{1}{3}\right|.
Isto é a desigualdade triangular: a distância de a_{n} a \frac{1}{3} é no máximo a soma da distância de a_{n} a b_{n} e da distância de b_{n} a \frac{1}{3}.
  • O primeiro termo \left|a_{n}-b_{n}\right| é menor que \varepsilon_{n}, que tende a 0 (Passo 2).
  • O segundo termo \left|b_{n}-\frac{1}{3}\right| tende a 0 porque b_{n}\to\frac{1}{3} (Passo 3).
Logo a soma dos dois termos tende a 0, isto é,
\left|a_{n}-\frac{1}{3}\right|\xrightarrow[n\to\infty]{}0,
o que significa exatamente que
a_{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{1}{3}.
Comentário didático rápido: a ideia é que a_{n} é sempre muito próxima de b_{n} (erro que vai a zero) e b_{n} tem limite \tfrac{1}{3}; então a_{n} tem de convergir para o mesmo limite. Isso é uma aplicação direta da desigualdade triangular e das propriedades de limites de sequências.

Passo 5

Conclusão: a sequência \left(a_{n}\right) converge e o seu limite é \displaystyle \frac{1}{3}. Portanto a alternativa correta é a (b).

Resposta

(b) \left(a_{n}\right) converge para \frac{1}{3}.

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