para todo n \geq 1. Escolha uma das seguintes alternativas para a sequência ( a_{n} ).
(a) \left(a_{n}\right) diverge.
(b) \left(a_{n}\right) converge para \frac{1}{3}.
(c) \left(a_{n}\right) diverge para +\infty.
(d) Não se pode afirmar nada sobre a convergência ou divergência da sequência \left(a_{n}\right).
(e) \left(a_{n}\right) converge para 0 .
Passo 1
O enunciado dá que a sequência \left(a_{n}\right) satisfaz, para todo n\ge 1,
As perguntas possíveis são escolher entre as alternativas:
(a) \left(a_{n}\right) diverge.
(b) \left(a_{n}\right) converge para \frac{1}{3}.
(c) \left(a_{n}\right) diverge para +\infty.
(d) Não se pode afirmar nada sobre a convergência ou divergência da sequência \left(a_{n}\right).
(e) \left(a_{n}\right) converge para 0.
Informações relevantes fornecidas:
a_{n} está a uma distância menor que e^{-\frac{n^{3}-1}{n^{2}+2 n-1}} deb_{n}:=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{n^{5}+1}{3 n^{5}+5 n+1}.
Precisamos decidir qual das alternativas (a)–(e) é verdadeira para \left(a_{n}\right).
Aqui eu dividi numerador e denominador por n^{2}. Quando n\to\infty temos \frac{1}{n}\to 0, \frac{1}{n^{2}}\to 0, então o quociente acima tende a +\infty porque o numerador tende a +\infty (é aproximadamente n) e o denominador tende a 1. Logo
Primeiro termo: \displaystyle \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}.
Em valor absoluto \displaystyle \left|\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}\right|=\frac{1}{\sqrt{n}}.
Como \frac{1}{\sqrt{n}}\xrightarrow[n\to\infty]{}0, pelo critério do valor absoluto esse termo tende a 0.
Segundo termo: \displaystyle \frac{n^{5}+1}{3 n^{5}+5 n+1}.
Divido numerador e denominador por n^{5}:\frac{n^{5}+1}{3 n^{5}+5 n+1}=\frac{1+\frac{1}{n^{5}}}{3+\frac{5}{n^{4}}+\frac{1}{n^{5}}}.
À medida que n\to\infty temos \frac{1}{n^{5}}\to 0 e \frac{5}{n^{4}}\to 0, então a fração tende a \frac{1}{3}:\frac{n^{5}+1}{3 n^{5}+5 n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{1}{3}.
Pelo teorema da soma de limites (se as duas sequências têm limite, a soma tem limite igual à soma dos limites), obtemos
Isto é a desigualdade triangular: a distância de a_{n} a \frac{1}{3} é no máximo a soma da distância de a_{n} a b_{n} e da distância de b_{n} a \frac{1}{3}.
O primeiro termo \left|a_{n}-b_{n}\right| é menor que \varepsilon_{n}, que tende a 0 (Passo 2).
O segundo termo \left|b_{n}-\frac{1}{3}\right| tende a 0 porque b_{n}\to\frac{1}{3} (Passo 3).
Comentário didático rápido: a ideia é que a_{n} é sempre muito próxima de b_{n} (erro que vai a zero) e b_{n} tem limite \tfrac{1}{3}; então a_{n} tem de convergir para o mesmo limite. Isso é uma aplicação direta da desigualdade triangular e das propriedades de limites de sequências.
Passo 5
Conclusão: a sequência \left(a_{n}\right) converge e o seu limite é \displaystyle \frac{1}{3}. Portanto a alternativa correta é a (b).