Seja A=\left(a_{i j}\right)_{2 \times 2}, onde a_{i j}=2 i-j, e B=\left(b_{i j}\right)_{2 \times 2}, onde b_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text { se } i \neq j \\\\ 3 & \text { se } i=j\end{array}\right., calcule o valor do determinante das seguintes matrizes:
(c) A+B.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes 2\times2\): uma \(A=(a_{ij})\) com \(a_{ij}=2i-j\) e outra \(B=(b_{ij})\) em que \[b_{ij}=\begin{cases} 3&\text{se }i=j,\\\\ 1&\text{se }i\neq j. \end{cases}
Pede-se o determinante de A+B\]. Para isso, vamos primeiro escrever \(A e B explicitamente e depois usar a fórmula do determinante de uma matriz
\begin{pmatrix}p&q\r&s\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad \det = ps - qr.

Passo 2

Calcular os elementos de A. Para cada par (i,j) com i,j\in\{1,2\}:
a_{11}=2\cdot1-1=1,\quad a_{12}=2\cdot1-2=0,
a_{21}=2\cdot2-1=3,\quad a_{22}=2\cdot2-2=2.
Logo,
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] 3 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular os elementos de B conforme a definição:
b_{11}=3,\quad b_{12}=1,\quad b_{21}=1,\quad b_{22}=3.
Portanto,
B = \begin{pmatrix}3 & 1 \\[6pt] 1 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Somar as matrizes A e B:
A+B = \begin{pmatrix}1+3 & 0+1 \\[4pt] 3+1 & 2+3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 1 \\[4pt] 4 & 5\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular o determinante de \displaystyle C = A+B = \begin{pmatrix}4 & 1 \\\\ 4 & 5\end{pmatrix}.
Usando \det\text{(C)}=4\cdot5 - 1\cdot4, temos
\det\text{(C)} = 20 - 4 = 16.

Resposta

16

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