Seja A=\left(a_{i j}\right)_{2 \times 2}, onde a_{i j}=2 i-j, e B=\left(b_{i j}\right)_{2 \times 2}, onde b_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text { se } i \neq j \\\\ 3 & \text { se } i=j\end{array}\right., calcule o valor do determinante das seguintes matrizes:
(d) A-B.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz A - B, em que A=(a_{ij})_{2\times2} com a_{ij}=2i-j e B=(b_{ij})_{2\times2} com
b_{ij}=\begin{cases} 1,&\text{se }i\neq j,\\\\ 3,&\text{se }i=j. \end{cases}
O conteúdo aqui é operação entre matrizes e cálculo de determinante.

Passo 2

Vamos usar a fórmula a_{ij}=2i-j para obter A.
Para i=1,j=1 vem a_{11}=2\cdot1-1=1.
Para i=1,j=2 vem a_{12}=2\cdot1-2=0.
Para i=2,j=1 vem a_{21}=2\cdot2-1=3.
Para i=2,j=2 vem a_{22}=2\cdot2-2=2.
Portanto,
A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 3 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora montamos B usando
b_{ij}=\begin{cases} 3,&i=j,\\\\ 1,&i\neq j. \end{cases}
Logo,
B = \begin{pmatrix} 3 & 1\\\\ 1 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 4

Subtraímos termo a termo para obter A-B:
A-B = \begin{pmatrix} 1-3 & 0-1\\\\ 3-1 & 2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -1\\\\ 2 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para \displaystyle C=A-B com
C=\begin{pmatrix} -2 & -1\\\\ 2 & -1 \end{pmatrix},
o determinante é
\det\text{(C)} = (-2)\cdot(-1) - (-1)\cdot2 = 2 + 2 = 4.

Resposta

4

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