Seja A=\left(a_{i j}\right)_{2 \times 2}, onde a_{i j}=2 i-j, e B=\left(b_{i j}\right)_{2 \times 2}, onde b_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text { se } i \neq j \\\\ 3 & \text { se } i=j\end{array}\right., calcule o valor do determinante das seguintes matrizes:
(e) A B.

Passo 1

O enunciado define as matrizes A\) e \(B\) de ordem \(2\) por \[A = (a_{ij}) \quad\text{com}\quad a_{ij} = 2i - j
B = (b_{ij}) \quad\text{com}\quad b_{ij} = \begin{cases}1,&i\neq j,\\\ 3,&i=j.\end{cases}
Pede-se (\det(AB)].
Conteúdo: determinante de produto de matrizes. Vamos usar a propriedade
\det(AB)=\det(A)\,\det(B).

Passo 2

Calculando explicitamente os elementos de A e de B:
Para A:
a_{11}=2\cdot1-1=1,\quad a_{12}=2\cdot1-2=0,\quad a_{21}=2\cdot2-1=3,\quad a_{22}=2\cdot2-2=2.
Logo
A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 3 & 2 \end{pmatrix}.
Para B: entradas na diagonal valem 3 e fora dela valem 1, ou seja,
B = \begin{pmatrix} 3 & 1\\\\ 1 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculemos \det(A) e \det(B):
\det(A)=1\cdot2-0\cdot3=2,
\det(B)=3\cdot3-1\cdot1=9-1=8.

Passo 4

Pela propriedade de determinantes de produto,
\det(AB)=\det(A)\,\det(B)=2\cdot8=16.

Resposta

16

Exercícios relacionados