Seja A=\left(a_{i j}\right)_{2 \times 2}, onde a_{i j}=2 i-j, e B=\left(b_{i j}\right)_{2 \times 2}, onde b_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text { se } i \neq j \\\\ 3 & \text { se } i=j\end{array}\right., calcule o valor do determinante das seguintes matrizes:
(f) A^{t}+B^{t}.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes 2\times2\): - \(A=(a_{ij})\) com \(a_{ij}=2i-j\). - \(B=(b_{ij})\) com \[b_{ij}=\begin{cases} 1,&i\neq j,\\\\ 3,&i=j. \end{cases}
Pede-se o valor de (\det\bigl(At+Bt\bigr)]. Vamos usar as propriedades de transposta e determinante.

Passo 2

Calcular explicitamente A e B. Para A:
a_{11}=2\cdot1-1=1,\quad a_{12}=2\cdot1-2=0,
a_{21}=2\cdot2-1=3,\quad a_{22}=2\cdot2-2=2.
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A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 3&2\end{pmatrix}.
Para B:
b_{11}=3,\;b_{22}=3,\;b_{12}=1,\;b_{21}=1,
portanto
B=\begin{pmatrix}3&1\\\ 1&3\end{pmatrix}.

Passo 3

Usar que \bigl(A^t+B^t\bigr)=(A+B)^t e que \det\bigl((A+B)^t\bigr)=\det(A+B). Então primeiro somamos:
A+B=\begin{pmatrix}1+3&0+1\\\ 3+1&2+3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4&1\\\ 4&5\end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular o determinante de A+B:
\det(A+B)=4\cdot5-1\cdot4=20-4=16.

Resposta

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