Seja A=\left(a_{i j}\right)_{2 \times 2}, onde a_{i j}=2 i-j, e B=\left(b_{i j}\right)_{2 \times 2}, onde b_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text { se } i \neq j \\\\ 3 & \text { se } i=j\end{array}\right., calcule o valor do determinante das seguintes matrizes:
(g) A^{t} B^{t}.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes 2\times2\): \[A=(a_{ij}),\quad a_{ij}=2i-j,
B=(b_{ij}),\quad b_{ij}=\begin{cases} 1,&i\neq j,\\\\ 3,&i=j. \end{cases}
Pede \det(A^T B^T)\]. Vamos usar as propriedades de determinante e cálculo direto das entradas de \(A e B.

Passo 2

Calculamos as entradas de A. Para i,j\in\{1,2\}:
a_{11}=2\cdot1-1=1,\quad a_{12}=2\cdot1-2=0,
a_{21}=2\cdot2-1=3,\quad a_{22}=2\cdot2-2=2.
Logo,
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 3 & 2\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos as entradas de B. Para i=j vale 3, para i\neq j vale 1:
b_{11}=3,\quad b_{12}=1,\quad b_{21}=1,\quad b_{22}=3.
Logo,
B=\begin{pmatrix}3 & 1\\\ 1 & 3\end{pmatrix}.

Passo 4

Primeiro calculamos \det(A) e \det(B):
\det(A)=1\cdot2-0\cdot3=2,
\det(B)=3\cdot3-1\cdot1=8.
Em seguida usamos que
A^T B^T=(B A)^T,\quad \det\!\bigl((BA)^T\bigr)=\det(BA)=\det(B)\,\det(A).
Portanto
\det(A^T B^T)=\det(B)\,\det(A)=8\cdot2=16.

Resposta

16

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