Seja A=\left(a_{i j}\right)_{2 \times 2}, onde a_{i j}=2 i-j, e B=\left(b_{i j}\right)_{2 \times 2}, onde b_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text { se } i \neq j \\\\ 3 & \text { se } i=j\end{array}\right., calcule o valor do determinante das seguintes matrizes:
(h) (A B)^{t}.

Passo 1

O enunciado define duas matrizes A\) e \(B\) de ordem 2 por \[a_{ij}=2i-j \quad\text{e}\quad b_{ij}=\begin{cases}1,&i\neq j,\\\ 3,&i=j,\end{cases}
e pede o determinante de (AB)^t\]. Vamos calcular \(A, B, multiplicar AB e usar a propriedade \det(M^t)=\det(M).

Passo 2

Os elementos de A são
para i=1: a_{11}=2\cdot1-1=1, a_{12}=2\cdot1-2=0
para i=2: a_{21}=2\cdot2-1=3, a_{22}=2\cdot2-2=2
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 3 & 2\end{pmatrix}

Passo 3

Pela definição de B temos diagonal igual a 3 e off-diagonal igual a 1:
B = \begin{pmatrix}3 & 1 \\\\ 1 & 3\end{pmatrix}

Passo 4

Calculando o produto AB:
AB = \begin{pmatrix} 1\cdot3 + 0\cdot1 & 1\cdot1 + 0\cdot3 \\\\ 3\cdot3 + 2\cdot1 & 3\cdot1 + 2\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 1 \\\\ 11 & 9\end{pmatrix}

Passo 5

Como \det\bigl((AB)^t\bigr)=\det(AB), basta calcular
\det(AB)=3\cdot9 - 1\cdot11=27 - 11=16.

Resposta

16

Exercícios relacionados