Seja A=\left(a_{i j}\right)_{2 \times 2}, onde a_{i j}=2 i-j, e B=\left(b_{i j}\right)_{2 \times 2}, onde b_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text { se } i \neq j \\\\ 3 & \text { se } i=j\end{array}\right., calcule o valor do determinante das seguintes matrizes:
(i) (A+B)^{t}.

Passo 1

O enunciado define duas matrizes A\) e \(B\) de ordem \(2\), cujas entradas são dadas por \(\displaystyle a_{ij}=2i-j\) e \[b_{ij}=\begin{cases} 1,&\text{se }i\neq j,\\\\ 3,&\text{se }i=j. \end{cases}
Pede-se \det\bigl((A+B)^t\bigr)\]. Para resolver, vamos usar a propriedade de determinante de matriz transposta \(\det(M^t)=\det(M) e calcular primeiro A+B.

Passo 2

Calculando todos os a_{ij} com i,j\in\{1,2\}: \;a_{11}=2\cdot1-1=1,\;a_{12}=2\cdot1-2=0,\;a_{21}=2\cdot2-1=3,\;a_{22}=2\cdot2-2=2.
Assim,
A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 3 & 2 \end{pmatrix}

Passo 3

Como b_{ii}=3 e b_{ij}=1 para i\neq j, obtemos \;b_{11}=3,\;b_{12}=1,\;b_{21}=1,\;b_{22}=3.
Portanto,
B = \begin{pmatrix} 3 & 1\\\\ 1 & 3 \end{pmatrix}

Passo 4

Somando componente a componente:
A+B = \begin{pmatrix} 1+3 & 0+1\\\\ 3+1 & 2+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1\\\\ 4 & 5 \end{pmatrix}

Passo 5

Usando \det\bigl((A+B)^t\bigr)=\det(A+B) e a fórmula do determinante de uma 2\times2:
\det(A+B)=4\cdot5 - 1\cdot4 =20 - 4 =16.

Resposta

O valor de \det\bigl((A+B)^t\bigr) é 16.

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