Seja A=\left(a_{i j}\right)_{2 \times 2}, onde a_{i j}=2 i-j, e B=\left(b_{i j}\right)_{2 \times 2}, onde b_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text { se } i \neq j \\\\ 3 & \text { se } i=j\end{array}\right., calcule o valor do determinante das seguintes matrizes:
(j) (A-B)^{t}.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes 2\times2\): \[A=(a_{ij}),\quad a_{ij}=2i-j
B=(b_{ij}),\quad b_{ij}=\begin{cases}3,&i=j,\\\ 1,&i\neq j.\end{cases}
Pede o determinante de (A-B)^{t}\]. Vamos achar primeiro \(A e B, depois A-B, em seguida a transposta e, por fim, o determinante.

Passo 2

Calcular todos os a_{ij}=2i-j:
a_{11}=2\cdot1-1=1,\quad a_{12}=2\cdot1-2=0,
a_{21}=2\cdot2-1=3,\quad a_{22}=2\cdot2-2=2.
Logo
A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] 3 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular b_{ij} sabendo que vale 3 na diagonal e 1 fora dela:
B=\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Subtrair as matrizes e transpor:
A-B=\begin{pmatrix}1-3 & 0-1 \\[4pt]3-1 & 2-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2 & -1 \\[4pt]2 & -1\end{pmatrix},
(A-B)^{t}=\begin{pmatrix}-2 & 2 \\[4pt]-1 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular o determinante de (A-B)^{t}:
\det\bigl((A-B)^{t}\bigr) =(-2)\cdot(-1)-2\cdot(-1) =2+2 =4.

Resposta

O valor do determinante de (A-B)^{t} é 4.

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