Seja
. Encontre
(inversa de
) utilizando
, isto é, escreva
em termos de
.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede para encontrar a matriz
que é a inversa de
usando a relação
. Dados e incógnitas:
Aqui
são os elementos conhecidos de
e
são os elementos desconhecidos de
. A missão é escrever
em termos de
sabendo que
.]
Passo 2
Primeiro vamos lembrar como multiplicar matrizes 2×2. Se fizermos
, o elemento da primeira linha e primeira coluna é a soma dos produtos da primeira linha de
com a primeira coluna de
. Fazendo todas as multiplicações obtemos:
Como queremos
, cada posição dessa matriz produto deve coincidir com a correspondente em
.]
Passo 3
Escrevendo as igualdades correspondentes a cada entrada de
Note que as duas primeiras equações envolvem
separadamente: as primeiras duas linhas correspondem às colunas de
. Isso significa que podemos resolver por colunas: primeiro encontramos
resolvendo
e depois encontramos ((f,h)] resolvendo
]
Passo 4
Vamos resolver o sistema para
. Usamos eliminação linear (tipo “somar equações multiplicadas”) para eliminar uma incógnita e achar a outra. Multiplico a primeira equação por
e a segunda por
:
Somando as duas equações as parcelas em
se cancelam, sobrando:
Passo 5
Definimos o determinante
da matriz
como
Esse número aparece naturalmente na eliminação que fizemos. Se
a matriz
não tem inversa (porque não conseguimos isolar
nem
unicamente). Assumimos que
para que a inversa exista. Assim obtemos
Passo 6
Agora achamos
. Volto às mesmas duas equações iniciais e elimino
. Multiplico a primeira por
e a segunda por
:
Somando as duas equações as parcelas em
se cancelam, sobrando:
Como
e
, temos
Passo 7
Resumindo a primeira coluna da inversa encontrada:
Isso já casa com a fórmula conhecida da inversa 2×2 para a primeira coluna. Agora repetimos o processo para a segunda coluna
.]
Passo 8
Resolvendo o sistema para
Multiplico a primeira equação por
:
Somando as duas equações as parcelas em
se cancelam, ficando:
Portanto
Passo 9
Para
eliminamos
. Multiplico a primeira equação por
e a segunda por
:
Somando as duas equações as parcelas em
se cancelam, ficando:
Logo
Passo 10
Juntando tudo, obtemos a matriz inversa
escrita em termos de
e do determinante
:
Aqui eu expliquei passo a passo: como montar o sistema a partir de
, como usar eliminação para isolar cada incógnita, e por que o determinante aparece naturalmente e deve ser não nulo.]