Seja A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]. Encontre B=\left[\begin{array}{ll}e & f \\\ g & h\end{array}\right] (inversa de A ) utilizando A B=I, isto é, escreva \{e, f, g, h\} em termos de \{a, b, c, d\}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz A e pede para encontrar a matriz B que é a inversa de A usando a relação A B = I. Dados e incógnitas:
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}e & f \\[4pt] g & h\end{pmatrix},\qquad I=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Aqui a,b,c,d são os elementos conhecidos de A e e,f,g,h são os elementos desconhecidos de B. A missão é escrever e,f,g,h em termos de a,b,c,d sabendo que A B = I.]

Passo 2

Primeiro vamos lembrar como multiplicar matrizes 2×2. Se fizermos A B, o elemento da primeira linha e primeira coluna é a soma dos produtos da primeira linha de A com a primeira coluna de B. Fazendo todas as multiplicações obtemos:
A B = \begin{pmatrix} a e + b g & a f + b h \\[4pt] c e + d g & c f + d h \end{pmatrix}.
Como queremos A B = I, cada posição dessa matriz produto deve coincidir com a correspondente em I.]

Passo 3

Escrevendo as igualdades correspondentes a cada entrada de A B = I\) temos o sistema linear: \[\begin{cases} a e + b g = 1,\\[4pt] a f + b h = 0,\\[4pt] c e + d g = 0,\\[4pt] c f + d h = 1. \end{cases}
Note que as duas primeiras equações envolvem e,g\] e \[f,h separadamente: as primeiras duas linhas correspondem às colunas de B. Isso significa que podemos resolver por colunas: primeiro encontramos (e,g) resolvendo
\begin{cases} a e + b g = 1,\\[4pt] c e + d g = 0, \end{cases}
e depois encontramos ((f,h)] resolvendo
\begin{cases} a f + b h = 0,\\[4pt] c f + d h = 1. \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver o sistema para (e,g). Usamos eliminação linear (tipo “somar equações multiplicadas”) para eliminar uma incógnita e achar a outra. Multiplico a primeira equação por d e a segunda por -b:
\begin{aligned} &d\cdot (a e + b g) = d\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad a d\, e + b d\, g = d,\\[4pt] &-b\cdot (c e + d g) = -b\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad -b c\, e - b d\, g = 0. \end{aligned}
Somando as duas equações as parcelas em b d\, g se cancelam, sobrando:
(a d - b c)\, e = d.]

Passo 5

Definimos o determinante \Delta da matriz A como
\Delta = a d - b c.
Esse número aparece naturalmente na eliminação que fizemos. Se \Delta = 0 a matriz A não tem inversa (porque não conseguimos isolar e nem g unicamente). Assumimos que \Delta \neq 0 para que a inversa exista. Assim obtemos
e = \frac{d}{\Delta}.

Passo 6

Agora achamos g. Volto às mesmas duas equações iniciais e elimino e. Multiplico a primeira por -c e a segunda por a:
\begin{aligned} &-c\cdot (a e + b g) = -c\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad -a c\, e - b c\, g = -c,\\[4pt] &a\cdot (c e + d g) = a\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad a c\, e + a d\, g = 0. \end{aligned}
Somando as duas equações as parcelas em a c\, e se cancelam, sobrando:
(a d - b c)\, g = -c.
Como \Delta = a d - b c e \Delta\neq0, temos
g = -\frac{c}{\Delta}.]

Passo 7

Resumindo a primeira coluna da inversa encontrada:
\begin{pmatrix} e \\[4pt] g \end{pmatrix} = \frac{1}{\Delta}\begin{pmatrix} d \\[4pt] -c \end{pmatrix}.
Isso já casa com a fórmula conhecida da inversa 2×2 para a primeira coluna. Agora repetimos o processo para a segunda coluna (f,h).]

Passo 8

Resolvendo o sistema para (f,h)\): \[\begin{cases} a f + b h = 0,\\[4pt] c f + d h = 1. \end{cases}
Multiplico a primeira equação por d\] e a segunda por \(-b:
\begin{aligned} &d\cdot (a f + b h) = d\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad a d\, f + b d\, h = 0,\\[4pt] &-b\cdot (c f + d h) = -b\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad -b c\, f - b d\, h = -b. \end{aligned}
Somando as duas equações as parcelas em b d\, h se cancelam, ficando:
(a d - b c)\, f = -b.
Portanto
f = -\frac{b}{\Delta}.]

Passo 9

Para h eliminamos f. Multiplico a primeira equação por -c e a segunda por a:
\begin{aligned} &-c\cdot (a f + b h) = -c\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad -a c\, f - b c\, h = 0,\\[4pt] &a\cdot (c f + d h) = a\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad a c\, f + a d\, h = a. \end{aligned}
Somando as duas equações as parcelas em a c\, f se cancelam, ficando:
(a d - b c)\, h = a.
Logo
h = \frac{a}{\Delta}.]

Passo 10

Juntando tudo, obtemos a matriz inversa B=A^{-1} escrita em termos de a,b,c,d e do determinante \Delta = a d - b c:
B = A^{-1} = \frac{1}{\Delta}\begin{pmatrix} d & -b \\[4pt] -c & a \end{pmatrix}, \qquad \text{com } \Delta = a d - b c \neq 0.
Aqui eu expliquei passo a passo: como montar o sistema a partir de A B = I, como usar eliminação para isolar cada incógnita, e por que o determinante aparece naturalmente e deve ser não nulo.]

Resposta

e=\dfrac{d}{ad-bc}
f=-\dfrac{b}{ad-bc}
g=-\dfrac{c}{ad-bc}
h=\dfrac{a}{ad-bc}

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