Sejam matrizes
e
de tamanho
triangulares superiores. Mostre que o produto
também é uma matriz triangular superior. Mostre esse resultado para matrizes de qualquer tamanho
. [Matrizes triangulares superiores são aquelas em que
para
, i.e., as entradas no “triângulo inferior” são nulas.]
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá duas matrizes
e de tamanho que são triangulares superiores. Isso significa que, para , temos sempre que . Igualmente, para , temos sempre que . - Pede para mostrar que o produto
também é uma matriz triangular superior. - Pede depois que o mesmo resultado seja mostrado para matrizes de tamanho arbitrário
.
Informações relevantes listadas: - Entradas de
e abaixo da diagonal principal são nulas: e para todo . - Queremos provar que, se
, então para todo (isto é a definição de triangular superior do produto).
Passo 2
Relembrando a fórmula de multiplicação de matrizes (aqui é a “ferramenta” que vamos usar). Se
e
são
, o elemento
de
é dado por
Explicando essa fórmula como se estivéssemos na prova:
é a soma dos produtos entre os elementos da linha
de
e os elementos da coluna
de
. O índice
percorre as colunas de
(e as linhas de
) combinando pares
e
.
Passo 3
Meta do argumento para o caso
: mostrar que, se
, então
. Vamos fixar índices com
e analisar cada termo da soma
A ideia é mostrar que, para cada
na soma, o produto
é zero — daí a soma inteira é zero.
Passo 4
Dividimos os valores de
em duas faixas úteis: (A)
e (B)
. Primeiro consideramos a faixa (A), onde
. Como estamos assumindo
, temos
. Mas
é triangular superior, então qualquer entrada com linha maior que coluna é zero, isto é,
sempre que
. Conclusão: para todo
com
temos
, portanto cada produto
nessa faixa.
Passo 5
Agora consideramos a faixa (B), onde
. Como
é triangular superior, as entradas com linha maior que coluna são zero — ou seja,
sempre que
. Logo, para todo
com
temos
, e assim cada produto
nessa faixa também.
Passo 6
Juntando as faixas (A) e (B): para todo
o termo
é zero (ou porque
quando
, ou porque
quando
). Portanto a soma inteira é zero:
Isso mostra que todas as entradas abaixo da diagonal de
são nulas, ou seja,
é triangular superior no caso
.
Passo 7
Generalização para o caso
. Exatamente o mesmo raciocínio vale quando as matrizes são
. Agora a fórmula de multiplicação é
Fixe
. Para cada
com
temos
e assim
(porque
é triangular superior). Para cada
com
temos
e assim
(porque
é triangular superior). Logo cada termo
na soma é zero, e assim
sempre que
. Concluímos que
é triangular superior para matrizes
.
Passo 8
Comentário final e dica de prova: a chave é usar a definição de entrada do produto de matrizes e dividir o índice de soma em duas partes em torno de
. Esse é um argumento rápido e direto que funciona para qualquer tamanho. Na prova, escreva claramente a expressão para
, fixe
e mostre que cada termo da soma é zero — isso evita confusão e ganha pontos de clareza.
Resposta
Para
: O produto
é triangular superior; mais precisamente, se
então
para todo
.
Para
: O produto
é triangular superior; mais precisamente, se
então
para todo
.