Sejam matrizes A e B de tamanho 4 \times 4 triangulares superiores. Mostre que o produto A B também é uma matriz triangular superior. Mostre esse resultado para matrizes de qualquer tamanho n \times n. [Matrizes triangulares superiores são aquelas em que a_{i j}=0 para i>j, i.e., as entradas no “triângulo inferior” são nulas.]

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá duas matrizes A e B de tamanho 4\times 4 que são triangulares superiores. Isso significa que, para A, temos a_{ij}=0 sempre que i>j. Igualmente, para B, temos b_{ij}=0 sempre que i>j.
  • Pede para mostrar que o produto AB também é uma matriz triangular superior.
  • Pede depois que o mesmo resultado seja mostrado para matrizes de tamanho arbitrário n\times n.
    Informações relevantes listadas:
  • Entradas de A e B abaixo da diagonal principal são nulas: a_{ij}=0 e b_{ij}=0 para todo i>j.
  • Queremos provar que, se C=AB, então c_{ij}=0 para todo i>j (isto é a definição de triangular superior do produto).

Passo 2

Relembrando a fórmula de multiplicação de matrizes (aqui é a “ferramenta” que vamos usar). Se C=AB e A,B são 4\times 4, o elemento (i,j) de C é dado por
c_{ij}=\sum_{k=1}^{4} a_{ik}\,b_{kj}.
Explicando essa fórmula como se estivéssemos na prova: c_{ij} é a soma dos produtos entre os elementos da linha i de A e os elementos da coluna j de B. O índice k percorre as colunas de A (e as linhas de B) combinando pares a_{ik} e b_{kj}.

Passo 3

Meta do argumento para o caso 4\times 4: mostrar que, se i>j, então c_{ij}=0. Vamos fixar índices com i>j e analisar cada termo da soma
c_{ij}=\sum_{k=1}^{4} a_{ik}\,b_{kj}.
A ideia é mostrar que, para cada k na soma, o produto a_{ik}b_{kj} é zero — daí a soma inteira é zero.

Passo 4

Dividimos os valores de k em duas faixas úteis: (A) 1\le k\le j e (B) j<k\le 4. Primeiro consideramos a faixa (A), onde k\le j. Como estamos assumindo i>j, temos i>k. Mas A é triangular superior, então qualquer entrada com linha maior que coluna é zero, isto é, a_{ik}=0 sempre que i>k. Conclusão: para todo k com 1\le k\le j temos a_{ik}=0, portanto cada produto a_{ik}b_{kj}=0 nessa faixa.

Passo 5

Agora consideramos a faixa (B), onde k>j. Como B é triangular superior, as entradas com linha maior que coluna são zero — ou seja, b_{kj}=0 sempre que k>j. Logo, para todo k com j<k\le 4 temos b_{kj}=0, e assim cada produto a_{ik}b_{kj}=0 nessa faixa também.

Passo 6

Juntando as faixas (A) e (B): para todo k\in\{1,2,3,4\} o termo a_{ik}b_{kj} é zero (ou porque a_{ik}=0 quando k\le j, ou porque b_{kj}=0 quando k>j). Portanto a soma inteira é zero:
c_{ij}=\sum_{k=1}^{4} a_{ik}b_{kj}=0\quad\text{sempre que }i>j.
Isso mostra que todas as entradas abaixo da diagonal de C=AB são nulas, ou seja, C é triangular superior no caso 4\times 4.

Passo 7

Generalização para o caso n\times n. Exatamente o mesmo raciocínio vale quando as matrizes são n\times n. Agora a fórmula de multiplicação é
c_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}.
Fixe i>j. Para cada k com 1\le k\le j temos i>k e assim a_{ik}=0 (porque A é triangular superior). Para cada k com j<k\le n temos k>j e assim b_{kj}=0 (porque B é triangular superior). Logo cada termo a_{ik}b_{kj} na soma é zero, e assim c_{ij}=0 sempre que i>j. Concluímos que C=AB é triangular superior para matrizes n\times n.

Passo 8

Comentário final e dica de prova: a chave é usar a definição de entrada do produto de matrizes e dividir o índice de soma em duas partes em torno de j. Esse é um argumento rápido e direto que funciona para qualquer tamanho. Na prova, escreva claramente a expressão para c_{ij}, fixe i>j e mostre que cada termo da soma é zero — isso evita confusão e ganha pontos de clareza.

Resposta

Para 4\times 4: O produto AB é triangular superior; mais precisamente, se C=AB então c_{ij}=0 para todo i>j.
Para n\times n: O produto AB é triangular superior; mais precisamente, se C=AB então c_{ij}=0 para todo i>j.

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