Seja f(x)=lfloor xrfloor, onde lfloorcdotrfloor é a função maior inteiro. É definida por lfloor xrfloor=0 maior inteiro que é menor que ou igual a x. Por exemplo, lfloor 4rfloor=4,lfloor 4.8rfloor=4,lfloorpirfloor=3, lfloor-12rfloor=-1.
Em quais números f é descontínua? x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função , que é a função "maior inteiro menor ou igual a ". O que a gente precisa descobrir aqui é em quais números essa função é descontínua. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e descontinuidade em funções, além de analisar o comportamento da função em diferentes pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser descontínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto se, ao nos aproximarmos de por valores menores e maiores, o limite da função é igual ao próprio valor da função em . Se esse não for o caso, a função é descontínua em .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Essa função pega qualquer número real e retorna o maior número inteiro que é menor ou igual a . Por exemplo:

Passo 4

Vamos verificar a continuidade dessa função em diferentes pontos. Vamos começar observando pontos que são inteiros, como , , , etc.

Passo 5

Tomemos como exemplo. Vamos ver o que acontece quando nos aproximamos de 0 por valores menores que 0 e por valores maiores que 0:
  • Se se aproxima de 0 pela direita (valores positivos próximos a 0), como , , etc., temos .
  • Se se aproxima de 0 pela esquerda (valores negativos próximos a 0), como , , etc., temos .

Passo 6

Percebemos que o limite da função quando se aproxima de 0 pela direita é 0, e quando se aproxima pela esquerda é -1. Como esses dois limites são diferentes, o limite geral em não existe, ou seja, a função não tem um limite único em . Além disso, .

Passo 7

Como os limites laterais não são iguais e não correspondem ao valor da função em , concluímos que a função é descontínua em .

Resposta

A função é descontínua em .

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