Seja
, onde
é a função maior inteiro. É definida por
maior inteiro que é menor que ou igual a
. Por exemplo,
,
.
Em quais números
é descontínua?
Em quais números
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
, que é a função "maior inteiro menor ou igual a
". O que a gente precisa descobrir aqui é em quais números essa função é descontínua. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e descontinuidade em funções, além de analisar o comportamento da função
em diferentes pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser descontínua em um ponto. Uma função é contínua em um ponto
se, ao nos aproximarmos de
por valores menores e maiores, o limite da função é igual ao próprio valor da função em
. Se esse não for o caso, a função é descontínua em
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Essa função pega qualquer número real
e retorna o maior número inteiro que é menor ou igual a
. Por exemplo:
Passo 4
Vamos verificar a continuidade dessa função em diferentes pontos. Vamos começar observando pontos que são inteiros, como
,
,
, etc.
Passo 5
Tomemos
como exemplo. Vamos ver o que acontece quando nos aproximamos de 0 por valores menores que 0 e por valores maiores que 0:
- Se
se aproxima de 0 pela direita (valores positivos próximos a 0), como , , etc., temos . - Se
se aproxima de 0 pela esquerda (valores negativos próximos a 0), como , , etc., temos .
Passo 6
Percebemos que o limite da função quando
se aproxima de 0 pela direita é 0, e quando se aproxima pela esquerda é -1. Como esses dois limites são diferentes, o limite geral em
não existe, ou seja, a função não tem um limite único em
. Além disso,
.
Passo 7
Como os limites laterais não são iguais e não correspondem ao valor da função em
, concluímos que a função
é descontínua em
.
Resposta
A função
é descontínua em
.