Verifique se os vetores abaixo são combinação linear dos vetores v1=(1,-1,1), v2=(2,2,1).
v=(1,-9,3). Podemos dizer que v é gerado por v1 e v2?

Passo 1

Estamos com os vetores
,v1=(1,-1,1), ,v2=(2,2,1) e ,v=(1,-9,3).
Queremos saber se existem escalares a e b tais que
a,v1+b,v2=v
Isso significa verificar se v pertence ao subespaço gerado por v1 e v2, conceito de combinação linear.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear em coordenadas, obtemos
a,(1,-1,1)+b,(2,2,1)=(1,-9,3),
o que gera o sistema
a + 2b = 1, -,a + 2b = -9, a + b = 3

Passo 3

Da primeira equação isolamos a:
a = 1 - 2b
Substituindo na segunda equação,
-l(1-2br)+2b=-9 Longrightarrow -1+2b+2b=-9 Longrightarrow 4b=-8 Longrightarrow b=-2
Então
a = 1 - 2(-2) = 1+4 = 5

Passo 4

Falta checar a terceira equação:
a + b = 5 + (-2) = 3,
que bate com o sistema. Logo ,a=5 e ,b=-2 é solução, e
v = 5,v1 - 2,v2

Resposta

Sim. v é gerado por v1 e v2, pois
v = 5,v1 - 2,v2

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