Seja T: R^4 R[x]3 linear tal que
l T(1,1,1,1)=x^2+x^3 T(1,0,1,1)=x+3 x^2+3 x^3 T(0,0,1,1)=x+2 x^2+2 x^3, e T(0,0,1,0)=x+x^2+x^3
Determine subespaços W1 subset R[x]3 e W2 subset R^4 tais que W1 seja isomorfo ao nuc(T) e W2 seja isomorfo a im(T).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
Tcolon R^4to R[x]3
cujo efeito em quatro vetores é dado. O objetivo é achar
  1. um subespaço W1subset R[x]3 tal que dim W1=dimker T e haja um isomorfismo W1simeq ker T;
  2. um subespaço W2subset R^4 tal que dim W2=dimimT e haja um isomorfismo W2simeq imT.

Passo 2

Vamos determinar imT. Dos valores dados, representamos os polinômios no basis 1,x,x^2,x^3:
T(1,1,1,1)=(0,0,1,1), T(1,0,1,1)=(0,1,3,3), T(0,0,1,1)=(0,1,2,2), T(0,0,1,0)=(0,1,1,1)
Note que
(0,1,2,2) = (0,1,1,1)+(0,0,1,1), (0,1,3,3) = (0,1,1,1)+2,(0,0,1,1),
logo só precisamos de
p1=T(0,0,1,0)=x+x^2+x^3, p2=T(1,1,1,1)=x^2+x^3
para gerar todos os outros. Assim
imT = span,x+x^2+x^3,;x^2+x^3,
e dimimT=2.

Passo 3

Agora achamos ker T. Seja (x1,x2,x3,x4)inker T. Decompomos-o na base canônica, obtendo
T(x1,x2,x3,x4) = (-x2+x3),x + (x1-2x2+x3+x4),x^2 + (x1-2x2+x3+x4),x^3
Para anular esse polinômio precisamos
-x2+x3=0, x1-2x2+x3+x4=0
Daqui x3=x2 e x1=x2-x4. Com parâmetros s=x2 e t=x4 temos
ker T = l(s-t,;s,;s,;t)r = span(1,1,1,0),;(-1,0,0,1),
logo dimker T=2.

Passo 4

Escolhemos agora subespaços de dimensão 2 em cada espaço que são naturalmente isomorfos aos calculados:
  • Para ker T (dimensão 2) tomamos em R[x]3
W1 = span,x^2,;x^3
O isomorfismo varphicolon ker Tto W1 fica
varphil(s(1,1,1,0)+t(-1,0,0,1)r)=s,x^2 + t,x^3
  • Para imT (dimensão 2) tomamos em R^4 o subespaço gerado pelos vetores cujas imagens geram imT, por exemplo
W2 = span(0,0,1,0),;(1,1,1,1)
A restrição de T a W2 é então um isomorfismo W2simeq imT.

Resposta

W1=a,x^2+b,x^3mid a,binRsubsetR[x]3
W2=span(0,0,1,0),,(1,1,1,1)subsetR^4

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