Seja
linear tal que
Determine subespaços
e
tais que
seja isomorfo ao
e
seja isomorfo a
.
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear
cujo efeito em quatro vetores é dado. O objetivo é achar
- um subespaço
tal que e haja um isomorfismo ; - um subespaço
tal que e haja um isomorfismo .
Passo 2
Vamos determinar
. Dos valores dados, representamos os polinômios no basis
:
Note que
logo só precisamos de
para gerar todos os outros. Assim
e
.
Passo 3
Agora achamos
. Seja
. Decompomos-o na base canônica, obtendo
Para anular esse polinômio precisamos
Daqui
e
. Com parâmetros
e
temos
logo
.
Passo 4
Escolhemos agora subespaços de dimensão 2 em cada espaço que são naturalmente isomorfos aos calculados:
- Para
(dimensão 2) tomamos em
O isomorfismo
fica
- Para
(dimensão 2) tomamos em o subespaço gerado pelos vetores cujas imagens geram , por exemplo
A restrição de
a
é então um isomorfismo
.