Sejam B=(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1),(0,0,0,1) e C bases de C^4, sendo C a base canônica. Determine:
A matriz de mudança da base C para B.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de base de C (base canônica) para B.
Isto significa encontrar a matriz P tal que, para todo vinC^4,
[v]B ;=; P,[v]C
As colunas de P são justamente as coordenadas de cada vetor da base canônica e1,e2,e3,e4 expressas na base B.

Passo 2

Expressamos e1=(1,0,0,0) como combinação linear dos vetores de B=b1,b2,b3,b4, onde
b1=(1,1,0,0),; b2=(0,1,1,0),; b3=(0,0,1,1),; b4=(0,0,0,1)
Procuramos x1,dots,x4 tais que
x1b1+x2b2+x3b3+x4b4 = e1
Comparando coordenadas, obtemos o sistema
x1 &= 1, x1 + x2 &= 0, x2 + x3 &= 0, x3 + x4 &= 0, Longrightarrow (x1,x2,x3,x4) = (1,-1,1,-1)
Logo
[e1]B = 1-11-1

Passo 3

Analogamente, para e2=(0,1,0,0) temos
x1 &= 0, x1 + x2 &= 1, x2 + x3 &= 0, x3 + x4 &= 0, Longrightarrow (e2)B = (0,1,-1,1)^T

Passo 4

Para e3=(0,0,1,0) e e4=(0,0,0,1) fazemos o mesmo:
x1=0, x1+x2=0, x2+x3=1, x3+x4=0, Longrightarrow [e3]B = (0,0,1,-1)^T,
x1=0, x1+x2=0, x2+x3=0, x3+x4=1, Longrightarrow [e4]B = (0,0,0,1)^T

Passo 5

Reunindo essas colunas, a matriz de mudança de base P de C para B é
P = l[, [e1]B;|;[e2]B;|;[e3]B;|;[e4]B r] = 1 & 0 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 & 0 1 & -1 & 1 & 0 -1 & 1 & -1 & 1

Resposta

P = 1 & 0 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 & 0 1 & -1 & 1 & 0 -1 & 1 & -1 & 1

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