Sejam T: K^n K^m linear, B e C as bases canônicas de K^n e K^m, respectivamente, e A=[T]C^B. Mostre:
im(T)=col(A).

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para a aplicação linear
Tcolon K^n to K^m
cuja matriz em relação às bases canônicas B e C é
A = [T]C^B,
vale
im(T) ;=; col(A)
Vamos usar a definição de imagem de T e a definição de espaço coluna de A.

Passo 2

Lembrando que
im(T) ;=; ,T(x)mid xinK^n,
e que quando usamos as bases canônicas temos
T(x) ;=; A,x para todo (xinK^n)
Por outro lado, o espaço coluna de A é
col(A) ;=; l,A,x mid xinK^nr

Passo 3

Mostramos primeiro im(T)subseteq col(A).
Seja yin im(T). Então existe xinK^n tal que
y ;=; T(x) ;=; A,x
Logo y é um vetor da forma A,x, o que significa yincol(A).

Passo 4

Agora mostramos col(A)subseteq im(T).
Seja yin col(A). Então existe xinK^n tal que
y ;=; A,x
Mas A,x = T(x), logo y=T(x)inim(T).

Resposta

im(T) ;=; col(A)

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