Sejam
linear,
e
as bases canônicas de
e
, respectivamente, e
. Mostre:
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para a aplicação linear
cuja matriz em relação às bases canônicas e
é
,
vale
cuja matriz em relação às bases canônicas
vale
Vamos usar a definição de imagem de
e a definição de espaço coluna de
.
Passo 2
Lembrando que
e que quando usamos as bases canônicas temos
Por outro lado, o espaço coluna de
é
Passo 3
Mostramos primeiro
.
Seja . Então existe
tal que
Seja
Logo
é um vetor da forma
, o que significa
.
Passo 4
Agora mostramos
.
Seja . Então existe
tal que
Seja
Mas
, logo
.