Sejam T: K^n K^m linear, B e C as bases canônicas de K^n e K^m, respectivamente, e A=[T]C^B. Mostre:
nuc(T)=en(A).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
T:K^ntoK^m
e diz que em relação às bases canônicas B de K^n e C de K^m a matriz de T é
A = [T]C^B
Queremos mostrar que o núcleo de T,
nuc(T)=xinK^nmid T(x)=0,
coincide com o espaço nulo (nulidade) da matriz A,
en(A)=xinK^nmid A,x=0

Passo 2

Em bases canônicas, as coordenadas de um vetor x são ele mesmo, ou seja,
[x]B = x
Além disso, a ação de T em coordenadas satisfaz
[T(x)]C ;=; A,[x]B ;=; A,x

Passo 3

Agora basta usar a definição de núcleo de T e de nulidade de A:
xinnuc(T) ;Long<=ftrightarrow; T(x)=0 ;Long<=ftrightarrow; [T(x)]C=0 ;Long<=ftrightarrow; A,x=0 ;Long<=ftrightarrow; xinen(A)

Resposta

nuc(T)=en(A)

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