Seja A=[ll2 & 1 -1 & 3].
a) Obtenha a forma escalonada canônica (f.e.c) de A.
b) A é invertível? Justifique.
c) Se for invertível, encontre A^-1. Obs. Faça o processo: [A mid I] sim ldots sim[I mid A^-1] (sequência de operações elementares).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 2 & 1 -1 & 3
e pede: (a) a forma escalonada canônica (f.e.c.) de A, (b) verificar se A é invertível e (c) caso afirmativo, usar o método de Gauss–Jordan em
[Amid I]
para encontrar A^-1.
O conteúdo envolve eliminação de Gauss, conceito de posto (rank) e construção de inversa via operações elementares.

Passo 2

Vamos reduzir A à forma escalonada canônica, ou seja, à forma reduzida por linhas (RREF). Começamos com
2 & 1 -1 & 3
  1. Dividimos a primeira linha por 2:
R1 tfrac12 R1 Longrightarrow 1 & tfrac12 -1 & 3
  1. Zeramos o elemento abaixo do pivô em coluna 1 somando R1 a R2:
R2 R2 + R1 Longrightarrow 1 & tfrac12 0 & tfrac72
  1. Dividimos a segunda linha por tfrac72:
R2 tfrac27R2 Longrightarrow 1 & tfrac12 0 & 1
  1. Zeramos o elemento acima do pivô em coluna 2 subtraindo tfrac12R2 de R1:
R1 R1 - tfrac12 R2 Longrightarrow 1 & 0 0 & 1
Logo, a f.e.c. de A é
1 & 0 0 & 1

Passo 3

Como a forma escalonada canônica de A é a matriz identidade I2, não houve nenhuma linha nula, o que significa que o posto de A é 2, igual ao número de colunas. Portanto A é invertível (ou, diretamente, det(A)=2cdot3-(-1)cdot1=7neq0).

Passo 4

Para obter A^-1 usamos o método de Gauss–Jordan na matriz aumentada
l[Amid Ir] = [cc|cc 2 & 1 & 1 & 0 -1 & 3 & 0 & 1 ]
Aplicamos exatamente as mesmas operações de linhas do Passo 2, mas estendidas às colunas da direita:
  1. R1tfrac12R1:
[cc|cc 1 & tfrac12 & tfrac12 & 0 -1 & 3 & 0 & 1 ]
  1. R2 R2 + R1:
[cc|cc 1 & tfrac12 & tfrac12 & 0 0 & tfrac72 & tfrac12 & 1 ]
  1. R2tfrac27R2:
[cc|cc 1 & tfrac12 & tfrac12 & 0 0 & 1 & tfrac17 & tfrac27 ]
  1. R1 R1 - tfrac12R2:
[cc|cc 1 & 0 & tfrac12 - tfrac114 & 0 - tfrac17 0 & 1 & tfrac17 & tfrac27 ] = [cc|cc 1 & 0 & tfrac37 & -tfrac17 0 & 1 & tfrac17 & tfrac27 ]
Agora a parte esquerda é I2 e a direita é A^-1.

Resposta

a) fec(A)=1 & 00 & 1
b) A é invertível, pois rank(A)=2 (ou det(A)=7neq0).
c)
A^-1 = tfrac37 & -tfrac17 tfrac17 & tfrac27

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