Beleza, o enunciado pede quatro coisas sobre a matriz
A= 5 & 2 & 1 3 & 1 & 4 1 & 1 & 3
Conteúdo: álgebra linear – decomposição LU, determinante e solução de sistema linear.
Para resolver, vamos precisar de:
• Verificar existência de LU (checando os menores principais).
• Fazer eliminação de Gauss sem troca de linha pra achar e .
• Usar diagonal de .
• Resolver e depois .
Passo 2
Verificação das condições para LU
Teoria: uma matriz quadrada admite decomposição det5&23&1 =5cdot1-2cdot3=5-6=-1neq0 sem pivoteamento se todos os menores principais (determinantes dos blocos superiores esquerda) são não nulos.
Aqui:
Menor : .
Menor :
Menor é , mas a checagem dos dois primeiros garante que podemos fazer LU sem trocar linhas.
Passo 3
Decomposição LU por eliminação de Gauss
Vamos eliminar abaixo da diagonal principal:
U= 5 & 2 & 1 0 & -tfrac15 & tfrac175 0 & 0 & 13 , L= 1 & 0 & 0 tfrac35 & 1 & 0 tfrac15 & -3 & 1 .
Subtraímos essas frações vezes a linha 1 de cada linha:
Linha2→L2−(3/5)L1 dá .
Linha3→L3−(1/5)L1 dá .
Agora pivot em . Fator .
Linha3→L3−(−3)L2 = L3 +3·L2 dá .
Assim
Passo 4
Determinante via LU
Teoria: det(A)=1cdot(5)cdotl(-tfrac15r)cdot(13) =5cdotl(-tfrac15r)cdot13=-13 , mas (diagonal de 1’s).
Então