Seja:
A=(lll 5 & 2 & 1 3 & 1 & 4 1 & 1 & 3 )
(a) Verificar se A satisfaz as condições para a existência da decomposição LU.
(b) Decompor A em L e U.
© Através da decomposição LU , calcular o determinante de A.
(d) Resolver o sistema A x=b1, onde b1=(0,-7,-5)^t.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede quatro coisas sobre a matriz
A= 5 & 2 & 1 3 & 1 & 4 1 & 1 & 3
Conteúdo: álgebra linear – decomposição LU, determinante e solução de sistema linear.
Para resolver, vamos precisar de:
• Verificar existência de LU (checando os menores principais).
• Fazer eliminação de Gauss sem troca de linha pra achar e .
• Usar diagonal de .
• Resolver e depois .

Passo 2

Verificação das condições para LU
Teoria: uma matriz quadrada admite decomposição det5&23&1 =5cdot1-2cdot3=5-6=-1neq0 sem pivoteamento se todos os menores principais (determinantes dos blocos superiores esquerda) são não nulos.
Aqui:
  1. Menor : .
  2. Menor :
  1. Menor é , mas a checagem dos dois primeiros garante que podemos fazer LU sem trocar linhas.

Passo 3

Decomposição LU por eliminação de Gauss
Vamos eliminar abaixo da diagonal principal:
  1. U= 5 & 2 & 1 0 & -tfrac15 & tfrac175 0 & 0 & 13 , L= 1 & 0 & 0 tfrac35 & 1 & 0 tfrac15 & -3 & 1 .
    Subtraímos essas frações vezes a linha 1 de cada linha:
    Linha2→L2−(3/5)L1 dá .
    Linha3→L3−(1/5)L1 dá .
  2. Agora pivot em . Fator .
    Linha3→L3−(−3)L2 = L3 +3·L2 dá .
Assim

Passo 4

Determinante via LU
Teoria: det(A)=1cdot(5)cdotl(-tfrac15r)cdot(13) =5cdotl(-tfrac15r)cdot13=-13 , mas (diagonal de 1’s).
Então

Passo 5

Resolvendo y1 = 0, tfrac35,y1 + y2 = -7 Rightarrow y2=-7, tfrac15,y1 -3,y2 +y3 = -5 Rightarrow y3=-5 -0 +3cdot(-7)=-26 com 5x1 +2x2 +x3 = 0, -tfrac15x2 +tfrac175x3 = -7, 13x3 = -26 Rightarrow x3=-2, -tfrac15x2 +tfrac175(-2)=-7 Rightarrow x2=1, 5x1 +2cdot1 +(-2)=0 Rightarrow x1=0 via LU
  1. Resolver :
  1. Resolver :

Resposta

(a) Sim, os menores principais são não nulos, logo existe LU.
(b)
L= 1 & 0 & 0 tfrac35 & 1 & 0 tfrac15 & -3 & 1 , U= 5 & 2 & 1 0 & -tfrac15 & tfrac175 0 & 0 & 13
© x=01-2 .
(d) Solução do sistema é

Exercícios relacionados