Verifique se cada uma das proposições seguintes é falsa ou verdadeira, justificando sua resposta.
Seja A uma matriz quadrada n times n. Se n é par e A^t=-A, então det A=0.

Passo 1

O enunciado diz: seja uma matriz quadrada de ordem n, com n par, e tal que A^t=-A (isto é, A é anti‐simétrica). Pergunta-se se sempre vale det A=0. O conteúdo envolve propriedades de determinante, em especial det(A^t)=det A e det(cA)=c^ndet A.

Passo 2

Da propriedade A^t=-A segue que
det A=det(A^t)=det(-A)

Passo 3

Pela propriedade de fator escalar no determinante, temos
det(-A)=(-1)^ndet A

Passo 4

Como n é par, (-1)^n=1. Logo
det(-A)=det A,
o que não impõe det A=0; apenas confirma det A=det A. Portanto não há razão algébrica para o determinante ser zero.

Passo 5

Basta um contraexemplo. Para n=2, considere
A=0 & 1 -1 & 0

Passo 6

Essa matriz satisfaz A^t=-A e
det A=(0)(0)-(1)(-1)=1neq0

Passo 7

Logo a proposição é falsa.

Resposta

Falsa. Contraexemplo: para n=2, A=0 & 1 -1 & 0 satisfaz A^t=-A e det A=1ne0.

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