Em um tetraedro A B C D, seja P um ponto tal que A P=alpha P D. Determine os valores de alpha para os quais os vetores A P+A C, B P+B C e(1-alpha) B C+A B sejam LD.

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de alpha para os quais três vetores no espaço tridimensional são linearmente dependentes. O conteúdo principal é operações com vetores em R^3 e teste de dependência linear via determinante. Vamos precisar expressar os vetores dados em uma base conveniente e impor que o determinante da matriz formada por eles seja zero.

Passo 2

Escolhemos como origem o ponto A e definimos:
b=AB, c=AC, d=AD
Então a posição de P satisfaz AP=alpha,PD. Se p=AP, temos:
p=alpha(d-p) Longrightarrow (1+alpha)p=alphad Longrightarrow p=alpha1+alpha,d=:t,d

Passo 3

Agora escrevemos os vetores de interesse em função de b,c,d:
AP+AC=p+c=td+c,
BP+BC=(p-b)+(c-b)=td+c-2b,
(1-alpha)BC+AB=(1-alpha)(c-b)+b=alphab+(1-alpha)c

Passo 4

Em coordenadas na base (b,c,d), os vetores são colunas da matriz
M= 0 & -2 & alpha 1 & 1 & 1-alpha t & t & 0 , t=alpha1+alpha
Eles são linearmente dependentes se e somente se det M=0. Calculando o determinante por expansão na primeira linha, obtemos
det M=-2l(-t(1-alpha)r)+alphacdot0=-2t(1-alpha)

Passo 5

Impondo det M=0
-2t(1-alpha)=0 Longrightarrow t=0ou1-alpha=0
Como t=alpha1+alpha, temos t=0 se alpha=0. E 1-alpha=0 se alpha=1.

Passo 6

Concluímos que os valores de alpha que tornam os vetores linearmente dependentes são 0 e 1.

Resposta

alpha=0 ou alpha=1.

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