Seja
(a) Calcule
A^-1 usando
adj(A)
(b) Calcule
A^-1 usando operações elementares sobre as linhas de
A mid I
(c) Qual método envolve menos contas?
(b) Calcule
(c) Qual método envolve menos contas?
Passo 1
O enunciado pede a inversa de uma matriz
4times4
por dois métodos: (a) usando
det(A) e
adj(A) , e (b) usando eliminação de gauss em
[Amid I] . Depois (c) comparar qual é mais econômico em contas.
Conteúdos usados: cálculo de determinante por operações em linha, definição de cofator e adjugado, e eliminação de Gauss para inversão.
Passo 2
Calcular
det(A) via operações em linhas:
-
.R2 R2-2R1,;R3 R3-R1,;R4 R4-R1 - O bloco triangular resultante dá
Passo 3
Calcular a matriz de cofatores
C=(Cij) , onde
e
Mij é a matriz que sobra ao riscar linha
i e coluna
j . O resultado é
Então o adjugado é
adj(A)=C^T .
Passo 4
Como
det(A)=1 , tem-se
Passo 5
Agora com eliminação de Gauss em
[Amid I] :
-
R2!!R2-2R1,;R3!!R3-R1,;R4!!R4-R1 - Escalar
para pivotar emR2 , eliminar coluna 2 em-1 .R1 - Pivotar em
na coluna 3 (divisão por 7), eliminar nas outras linhas.R3 - Pivotar em
na coluna 4 (divisão porR4 ), eliminar nas outras linhas.-tfrac17
No fim obtém-se à direita exatamente
que coincide com o resultado do adjugado.
Passo 6
A comparação mostra que o método de eliminação de Gauss teve bem menos operações (somas, multiplicações e divisões) do que calcular todos os 16 menores e cofatores para montar o adjugado.
Resposta
(a)
A^-1 = -4 & 3 & 0 & -1 2 & -1& 0 & 0 -7 & 0 & -1& 8 -6 & 0 & 1 & -7
(b) Pelo método de gauss ([
Amid I ]), obtém-se o mesmo
(c) O método de operações elementares (eliminação de Gauss) envolve menos contas que o uso de cofatores e adjugado.