Seja
A=[llll 1 & 3 & 1 & 1 2 & 5 & 2 & 2 1 & 3 & 8 & 9 1 & 3 & 2 & 2 ]
(a) Calcule A^-1 usando adj(A)
(b) Calcule A^-1 usando operações elementares sobre as linhas de A mid I
(c) Qual método envolve menos contas?

Passo 1

O enunciado pede a inversa de uma matriz 4times4
A= 1 & 3 & 1 & 1 2 & 5 & 2 & 2 1 & 3 & 8 & 9 1 & 3 & 2 & 2
por dois métodos: (a) usando det(A) e adj(A), e (b) usando eliminação de gauss em [Amid I]. Depois (c) comparar qual é mais econômico em contas.
Conteúdos usados: cálculo de determinante por operações em linha, definição de cofator e adjugado, e eliminação de Gauss para inversão.

Passo 2

Calcular det(A) via operações em linhas:
  1. R2 R2-2R1,;R3 R3-R1,;R4 R4-R1.
  2. O bloco triangular resultante dá
det(A)=1;det-1&0&00&7&80&1&1 =-1l(7cdot1-8cdot1r)=1

Passo 3

Calcular a matriz de cofatores C=(Cij), onde
Cij=(-1)^i+jdetl(Mijr),
e Mij é a matriz que sobra ao riscar linha i e coluna j. O resultado é
C= -4 & 2 & -7 & -6 3 & -1& 0 & 0 0 & 0 & -1 & 1 -1 & 0 & 8 & -7
Então o adjugado é adj(A)=C^T.

Passo 4

Como det(A)=1, tem-se
A^-1=1det(A),adj(A) =adj(A) = -4 & 3 & 0 & -1 2 & -1& 0 & 0 -7 & 0 & -1& 8 -6 & 0 & 1 & -7

Passo 5

Agora com eliminação de Gauss em [Amid I]:
  1. R2!!R2-2R1,;R3!!R3-R1,;R4!!R4-R1
  2. Escalar R2 para pivotar em -1, eliminar coluna 2 em R1.
  3. Pivotar em R3 na coluna 3 (divisão por 7), eliminar nas outras linhas.
  4. Pivotar em R4 na coluna 4 (divisão por -tfrac17), eliminar nas outras linhas.
    No fim obtém-se à direita exatamente
-4 & 3 & 0 & -1 2 & -1& 0 & 0 -7 & 0 & -1& 8 -6 & 0 & 1 & -7 ,
que coincide com o resultado do adjugado.

Passo 6

A comparação mostra que o método de eliminação de Gauss teve bem menos operações (somas, multiplicações e divisões) do que calcular todos os 16 menores e cofatores para montar o adjugado.

Resposta

(a) A^-1 = -4 & 3 & 0 & -1 2 & -1& 0 & 0 -7 & 0 & -1& 8 -6 & 0 & 1 & -7
(b) Pelo método de gauss ([ Amid I]), obtém-se o mesmo
A^-1 = -4 & 3 & 0 & -1 2 & -1& 0 & 0 -7 & 0 & -1& 8 -6 & 0 & 1 & -7
(c) O método de operações elementares (eliminação de Gauss) envolve menos contas que o uso de cofatores e adjugado.

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