Seja lly^prime & =x y y(0) & =1.
(a) Tabele a solução em [0,1] com 5 pontos base, usando o método de Euler.
(b) Obtenha uma aproximação de y(1) usando 2 passos do método de Runge-Kutta de 4 ordem, dado como sendo y(1) y(x)=e^x^22.
© Compare a aproximação de f das soluções anteriores e comente, sabendo que . Observação: Ficar atento quanto ao número de vezes que calculou o .

Passo 1

Resumo: resolver a EDO y'=x,y com y(0)=1. Precisamos do método de Euler em [0,1] com 5 pontos (passo h=0.25), do método de Runge–Kutta de 4ª ordem em 2 passos (passo h=0.5) e comparar com a solução exata y(x)=e^x^2/2.

Passo 2

Aplicamos Euler: h=0.25, pontos xn=0,0.25,0.5,0.75,1. A fórmula é yn+1=yn+h,xnyn. Iterando: y0=1, y1=1+0.25cdot0cdot1=1, y2=1+0.25cdot0.25cdot1=1.0625, y3=1.0625+0.25cdot0.5cdot1.0625=1.1953125, y4=1.1953125+0.25cdot0.75cdot1.1953125approx1.419433594.

Passo 3

Método de Runge–Kutta 4º ordem com h=0.5. A cada passo usamos k1=h,f(xn,yn), k2=h,f(xn+h/2,yn+k1/2), k3=h,f(xn+h/2,yn+k2/2), k4=h,f(xn+h,yn+k3) e yn+1=yn+(k1+2k2+2k3+k4)/6.
Primeiro passo ( x0=0,y0=1): k1=0, k2=0.125, k3approx0.1328125, k4approx0.283203125, logo y1approx1.133138021.
Segundo passo ( x1=0.5,y1approx1.133138021): k1approx0.283284505, k2approx0.478042603, k3approx0.514559746, k4approx0.823848884, logo y2approx1.648527702, que é a aproximação de y(1).

Passo 4

Solução exata em x=1 é e^1/2approx1.648721271. Erros: Euler |1.41943-1.64872|approx0.22929, RK4 |1.64853-1.64872|approx0.00019. O Euler avaliou f 4 vezes e o RK4 8 vezes. O RK4 é muito mais preciso com custo aceitável de avaliação de f.

Resposta

Aproximações de Euler (h=0.25) nos pontos:\n(0,1), (0.25,1), (0.5,1.0625), (0.75,1.1953125), (1,1.419433594).\nRunge–Kutta 4 (h=0.5, 2 passos): y(1)approx1.648527702.\nSolução exata: e^1/2approx1.648721271.\nErros: Euler≈0.22929, RK4≈0.00019.\nAvaliações de f: Euler 4, RK4 8.

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