Seja
.
(a) Tabele a solução em
com 5 pontos base, usando o método de Euler.
(b) Obtenha uma aproximação de
usando 2 passos do método de Runge-Kutta de 4 ordem, dado como sendo
.
© Compare a aproximação de
das soluções anteriores e comente, sabendo que
. Observação: Ficar atento quanto ao número de vezes que calculou o
.
(a) Tabele a solução em
(b) Obtenha uma aproximação de
© Compare a aproximação de
Passo 1
Resumo: resolver a EDO
com
. Precisamos do método de Euler em
com 5 pontos (passo
), do método de Runge–Kutta de 4ª ordem em 2 passos (passo
) e comparar com a solução exata
.
Passo 2
Aplicamos Euler:
, pontos
. A fórmula é
. Iterando:
,
,
,
,
.
Passo 3
Método de Runge–Kutta 4º ordem com
. A cada passo usamos
,
,
,
e
.
Primeiro passo ( ):
,
,
,
, logo
.
Segundo passo ( ):
,
,
,
, logo
, que é a aproximação de
.
Primeiro passo (
Segundo passo (
Passo 4
Solução exata em
é
. Erros: Euler
, RK4
. O Euler avaliou
4 vezes e o RK4 8 vezes. O RK4 é muito mais preciso com custo aceitável de avaliação de
.
Resposta
Aproximações de Euler (h=0.25) nos pontos:\n(0,1), (0.25,1), (0.5,1.0625), (0.75,1.1953125), (1,1.419433594).\nRunge–Kutta 4 (h=0.5, 2 passos):
.\nSolução exata:
.\nErros: Euler≈0.22929, RK4≈0.00019.\nAvaliações de
: Euler 4, RK4 8.