Considere integral1^2 1x d x. Obtenha uma aproximação com 4 subintervalos e a estimativa de seu erro, usando
(a) Método de trapézio
(b) Método de simpson

Passo 1

A integral é integral1^2 1x,dx, cujo valor exato é ln2. Vamos aproximar usando 4 subintervalos ( h=(2-1)/4=0,25) pelos métodos do trapézio e de Simpson, e estimar os erros a partir das derivadas de f(x)=1/x.

Passo 2

Para o método do trapézio com 4 subintervalos, calculamos os pontos
xi=1+ icdot0,25(i=0,1,2,3,4), f(xi)=1/xi
Os valores são:
f0=1,;f1=0,8,;f2=0,6666667,;f3=0,5714286,;f4=0,5
A fórmula do trapézio é
T4= h2l(f0+2(f1+f2+f3)+f4r)=0,252l(1+2cdot2,0380953+0,5r)approx0,697024
O erro do trapézio satisfaz
|ET|<=(b-a)^312n^2max[1,2]|f''(x)|
Como f''(x)=2/x^3 e seu máximo em [1,2] é 2 em x=1, temos
|ET|<=1^312cdot4^2cdot2=196approx0,010417

Passo 3

Para o método de Simpson com 4 subintervalos usamos
S4= h3l(f0+4f1+2f2+4f3+f4r)=0,253l(1+4cdot0,8+2cdot0,6666667+4cdot0,5714286+0,5r)approx0,693254
O erro de Simpson satisfaz
|ES|<=(b-a)^5180n^4max[1,2]|f''''(x)|
Como f''''(x)=24/x^5 e seu máximo em [1,2] é 24 em x=1,
|ES|<=1^5180cdot4^4cdot24=11920approx0,000521

Resposta

Método do trapézio: T4approx0,697024 com estimativa de erro |ET|<=0,010417. Método de Simpson: S4approx0,693254 com estimativa de erro |ES|<=0,000521.

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