Seja um lote contendo 7 peças não defeituosas e 3 peças defeituosas. Uma amostra de 2 peças deste lote é selecionada sem reposição. Seja X o número de peças não defeituosas na amostra e Y o número de peças defeituosas na amostra.
a) Determine a função de probabilidade conjunta de Xe Y .
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um lote com 7 peças não defeituosas (boas) e 3 defeituosas. A gente tira, sem reposição, uma amostra de 2 peças. Definimos X = número de peças boas na amostra e Y = número de peças defeituosas na amostra.
Conteúdo: distribuição hipergeométrica (contagem sem reposição) e combinações (). Vamos usar fórmulas de combinação e raciocínio combinatório pra montar a probabilidade conjunta .
Passo 2
Primeiro, entenda combinação:
é o número de jeitos de escolher itens de um total de , sem se importar com ordem.
Como não repomos, pra escolher exatamente boas e defeituosas, o número de maneiras é
O total de maneiras de tirar 2 peças do lote todo (10 peças) é . Então, em geral,
desde que . Se , a probabilidade é zero.
Passo 3
Calcular o total de casos possíveis:
Passo 4
Então a função de probabilidade conjunta fica
Passo 5
Agora, só pra ficar mais claro, listamos os três casos possíveis P(2,0)=binom72binom3045 =21cdot145=2145=715 :
P(1,1)=binom71binom3145 =7cdot345=2145=715 : duas boas, zero defeituosas
P(0,2)=binom70binom3245 =1cdot345=345=115
: uma boa, uma defeituosa
: zero boas, duas defeituosas
Resposta
pX,Y(x,y) = dfracbinom7x,binom3ybinom102,&x+y=2,[6pt] 0,&caso contrário á