Seja um lote contendo 7 peças não defeituosas e 3 peças defeituosas. Uma amostra de 2 peças deste lote é selecionada sem reposição. Seja X o número de peças não defeituosas na amostra e Y o número de peças defeituosas na amostra.
a) Determine a função de probabilidade conjunta de Xe Y .

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um lote com 7 peças não defeituosas (boas) e 3 defeituosas. A gente tira, sem reposição, uma amostra de 2 peças. Definimos X = número de peças boas na amostra e Y = número de peças defeituosas na amostra.
Conteúdo: distribuição hipergeométrica (contagem sem reposição) e combinações ( ). Vamos usar fórmulas de combinação e raciocínio combinatório pra montar a probabilidade conjunta .

Passo 2

Primeiro, entenda combinação:
binomnk = n!k!,(n-k)!
é o número de jeitos de escolher binom7x;times;binom3y itens de um total de P(X=x,Y=y)=binom7x,binom3ybinom102, , sem se importar com ordem.
Como não repomos, pra escolher exatamente boas e defeituosas, o número de maneiras é
O total de maneiras de tirar 2 peças do lote todo (10 peças) é . Então, em geral,
desde que . Se , a probabilidade é zero.

Passo 3

Calcular o total de casos possíveis:
binom102 = 10!2!,8! = 10cdot92 = 45

Passo 4

Então a função de probabilidade conjunta fica
pX,Y(x,y) = dfracbinom7x,binom3y45,&x+y=2,[6pt] 0,&caso contrário á

Passo 5

Agora, só pra ficar mais claro, listamos os três casos possíveis P(2,0)=binom72binom3045 =21cdot145=2145=715 :
  1. P(1,1)=binom71binom3145 =7cdot345=2145=715 : duas boas, zero defeituosas
P(0,2)=binom70binom3245 =1cdot345=345=115
  1. : uma boa, uma defeituosa
  1. : zero boas, duas defeituosas

Resposta

pX,Y(x,y) = dfracbinom7x,binom3ybinom102,&x+y=2,[6pt] 0,&caso contrário á
ou explicitamente:
P(2,0)=tfrac715, P(1,1)=tfrac715, P(0,2)=tfrac115

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